0045 - 棱边元有限元里的全局编号与局部编号：从弱形式离散到稀疏矩阵组装

Wed, 15 Apr 2026 12:18:00 +0800

这篇笔记在做什么

这篇笔记专门抽出原始会话里最难也最容易混乱的部分：全局基函数如何代入连续弱形式，为什么绝大多数单元积分自动为零，局部基函数怎样带着方向符号回到全局矩阵。

我保留了推导里的每一步筛选与变换，让“全局到局部、局部回到全局”不再只是口号，而是一条完整可验证的计算链。

从全局到局部，再从局部到全局

——弱形式离散化的完整推导

一、出发点：连续弱形式

求 $\mathbf{E}^{sca} \in H(\text{curl};\Omega)$，使得对所有 $\mathbf{T} \in H(\text{curl};\Omega)$：

$$ \begin{aligned} &\underbrace{\int_\Omega (\nabla\times\mathbf{T})\cdot(\nabla\times\mathbf{E}^{sca})\,dV}_{a_1(\mathbf{T},\mathbf{E}^{sca})} \\ &\quad - k_0^2 \underbrace{\int_\Omega \mathbf{T}\cdot\bar{\bar{\varepsilon}}_r\mathbf{E}^{sca}\,dV}_{a_2(\mathbf{T},\mathbf{E}^{sca})} \\ &\quad - jk_0 \underbrace{\oint_{S_{ABC}}(\hat{n}\times\mathbf{T})\cdot(\hat{n}\times\mathbf{E}^{sca})\,dS}_{a_3(\mathbf{T},\mathbf{E}^{sca})} \\ &= \underbrace{k_0^2\int_{\Omega_d}\mathbf{T}\cdot(\bar{\bar{\varepsilon}}_r-\bar{\bar{I}})\mathbf{E}^{inc}\,dV}_{F(\mathbf{T})} \end{aligned} $$

简记为：

$$ \boxed{a(\mathbf{T}, \mathbf{E}^{sca}) = F(\mathbf{T}), \quad \forall\,\mathbf{T} \in H(\text{curl};\Omega)} $$

其中：

$$ a(\mathbf{T}, \mathbf{E}) = a_1(\mathbf{T},\mathbf{E}) - k_0^2 a_2(\mathbf{T},\mathbf{E}) + a_3(\mathbf{T},\mathbf{E}) $$

注意 $a_3$ 已经包含了 ABC 边界条件（自然边界条件），它来自弱形式推导中的面积分项。

二、全局编号下的场逼近

2.1 全局棱边编号与全局基函数

设网格共有 $N_E$ 条全局棱边，编号为 $I = 1, 2, \ldots, N_E$。