一、这篇笔记的用途
前两篇我分别整理了这本书的知识架构和可转化为工作知识的结论，但你这次要的是另一种东西：
按章节整理本书里真正重要的定理，先用人话说清楚，再给出准确数学形式、定理号和记号解释。
所以这篇笔记的定位不是“读书感想”，而是一本定理索引手册。
需要说明一点：当前 PDF 文件名里带有 2013，但书内版权页显示正文对应的是 Second Edition, 1998。下面的整理以书内正文编号为准。
另外，不同 PDF 版本的页码可能漂移，所以“书上哪里”统一写成 Chapter + Section + Theorem/Lemma 编号，这样最稳。
二、通用记号
为了避免每条定理都重复解释，这里先统一记号。
- $D$：散射体区域，或介质异常的支撑区域。
- $\partial D$：边界。
- $\nu$：边界外法向。
- $k>0$：波数。
- $\Omega=S^2$：三维单位球面。
- 声学入射场、散射场、总场分别记为 $u^i,u^s,u$，且 $u=u^i+u^s$。
- 电磁场记为 $E,H$；远场模式记为 $u_\infty,E_\infty,H_\infty$。
- 折射率记为 $n(x)$，常记 $m:=1-n$。
- 三维 Helmholtz 基本解： $$ \Phi(x,y)=\frac{e^{ik|x-y|}}{4\pi |x-y|}. $$
- 二维基本解： $$ \Phi(x,y)=\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k|x-y|). $$
- 单层、双层及法向导数算子通常记作 $S,K,K’,T$。
- Herglotz 波函数是由球面上的平面波叠加得到的 entire solution。
三、Chapter 1：导言
第 1 章没有正式编号的定理，但它给出全书最重要的分类：
- 正问题：已知散射体或介质，求散射场。
- 逆问题：已知远场模式，反推边界或介质参数。
- 两大对象：obstacle problem 与 medium problem。
- 两大困难：nonlinearity 与 ill-posedness。
后面几乎所有定理都在为这四句话服务。
四、Chapter 2：The Helmholtz Equation
这一章是全书声学主干的数学地基。
Theorem 2.1：Green 公式 / Helmholtz 表示公式
定位：Ch.2 §2.2, Theorem 2.1
人话： 任何足够光滑的 Helmholtz 方程解，都能由边界上的函数值和法向导数完全表示出来。这是后面边界积分法的起点。
数学形式： 若 $u\in C^2(D)\cap C(\overline D)$，则 $$ u(x)=\int_{\partial D}\left\{\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)\Phi(x,y)-u(y)\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial \nu(y)}\right\}ds(y) -\int_D (\Delta u+k^2u)\Phi(x,y)dy. $$ 若 $u$ 满足 Helmholtz 方程，则体积分项消失。
记号： $D$ 为有界 $C^2$ 域，$\nu$ 为外法向，$\Phi$ 为三维基本解。
Theorem 2.4：外域 Green 公式
定位：Ch.2 §2.2, Theorem 2.4
人话： 对于满足 Sommerfeld 辐射条件的外域解，也能写出纯边界积分表示。这说明“外域问题可以只看边界”。
数学形式： 若 $u$ 是 $\mathbb R^3\setminus D$ 中的辐射解，则 $$ u(x)=\int_{\partial D} \left\{ u(y)\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial \nu(y)} -\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)\Phi(x,y) \right\}ds(y),\qquad x\in \mathbb R^3\setminus D. $$
记号： 这里 $D$ 的补为有界散射体，$u$ 满足 Sommerfeld 辐射条件。
Theorem 2.5：远场渐近展开
定位：Ch.2 §2.2, Theorem 2.5
人话： 每个辐射解在无穷远处都会长成“球面波振幅 × $e^{ikr}/r$”的样子，那个振幅就是远场模式。
数学形式： $$ u(x)=\frac{e^{ik|x|}}{|x|}\left\{u_\infty(\hat x)+O\!\left(\frac1{|x|}\right)\right\}, \qquad \hat x=\frac{x}{|x|},\ |x|\to\infty. $$ 并且 $$ u_\infty(\hat x)=\frac1{4\pi}\int_{\partial D} \left\{ u(y)\frac{\partial e^{-ik\hat x\cdot y}}{\partial \nu(y)} -\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)e^{-ik\hat x\cdot y} \right\}ds(y). $$
记号： $u_\infty$ 是 far field pattern，$\hat x$ 是观察方向。
Theorem 2.6-2.7：球谐函数的维数与完备正交基
定位：Ch.2 §2.3, Theorem 2.6-2.7
人话： $n$ 阶角向模式恰好有 $2n+1$ 个自由度；所有球谐函数拼起来构成 $L^2(S^2)$ 的完备正交基。
数学形式：
- $n$ 阶球谐函数空间维数为 $$ \dim \mathcal H_n = 2n+1. $$
- 标准归一化球谐 $$ Y_n^m(\theta,\varphi) =\sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!}} \,P_n^m(\cos\theta)e^{im\varphi}, $$ 对 $m=-n,\dots,n$、$n=0,1,2,\dots$ 构成 $L^2(\Omega)$ 的完备正交系。
记号： $P_n^m$ 是 associated Legendre function。
Theorem 2.9：球波函数
定位：Ch.2 §2.4, Theorem 2.9
人话： 球 Bessel 函数对应 entire solution，球 Hankel 函数对应辐射解。
数学形式： 若 $Y_n$ 是 $n$ 阶球谐，则 $$ u_n(x)=j_n(k|x|)Y_n(\hat x) $$ 是整个空间的 Helmholtz 方程解； $$ v_n(x)=h_n^{(1)}(k|x|)Y_n(\hat x) $$ 是 $\mathbb R^3\setminus\{0\}$ 中的辐射解。
记号： $j_n$ 为 spherical Bessel，$h_n^{(1)}$ 为 spherical Hankel。
Theorem 2.10：基本解的加法定理
定位：Ch.2 §2.4, Theorem 2.10
人话： 基本解可以展开成“外部 Hankel × 内部 Bessel × 球谐”的和，这给后面的模式分解和奇异值分析提供了标准坐标。
数学形式： 当 $|x|>|y|$ 时， $$ \Phi(x,y) =ik\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^n h_n^{(1)}(k|x|)Y_n^m(\hat x)j_n(k|y|)\overline{Y_n^m(\hat y)}. $$
Lemma 2.11 + Theorem 2.13：Rellich 引理与“零远场即零解”
定位：Ch.2 §2.5, Lemma 2.11; Theorem 2.13
人话： 外域辐射解如果远场是零，那它在整个外域就只能是零。这是所有唯一性证明的核心武器。
数学形式：
- 若 $u$ 满足 $$ \lim_{r\to\infty}\int_{|x|=r}|u(x)|^2ds=0, $$ 则 $u=0$ 于外域。
- 特别地，若辐射解的远场模式 $u_\infty\equiv 0$，则 $u\equiv 0$。
Theorem 2.14：辐射解的球波展开
定位：Ch.2 §2.5, Theorem 2.14
人话： 外域辐射解一定能展开成 spherical Hankel 的级数。换句话说，所有外向辐射都可以按角向模态拆开。
数学形式： 若 $u$ 是球外区域 $|x|>R$ 的辐射解，则 $$ u(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^n a_n^m h_n^{(1)}(k|x|)Y_n^m(\hat x). $$
五、Chapter 3：Direct Acoustic Obstacle Scattering
这一章把 Helmholtz 理论变成了边界积分理论。
Theorem 3.1：单层/双层势的跳跃关系
定位：Ch.3 §3.1, Theorem 3.1
人话： 边界积分法真正能工作的关键，在于势函数穿过边界时怎么跳。
数学形式：
单层势 $$ u(x)=\int_{\partial D}\varphi(y)\Phi(x,y),ds(y) $$ 在边界连续，且 $$ \frac{\partial u_\pm}{\partial \nu}(x) =\int_{\partial D}\varphi(y)\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial \nu(x)},ds(y) \mp \varphi(x). $$
双层势 $$ v(x)=\int_{\partial D}\varphi(y)\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial \nu(y)},ds(y) $$ 的边界极限为 $$ v_\pm(x) =\int_{\partial D}\varphi(y)\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial \nu(y)},ds(y) \pm \varphi(x). $$
记号： $u_\pm,v_\pm$ 表示从边界内外逼近的极限。
Theorem 3.4 + 3.6：边界算子的正则性与 Sobolev 映射
定位：Ch.3 §3.1, Theorem 3.4; Theorem 3.6
人话： $S,K,K’,T$ 不只是形式算子，它们在 Hölder/Sobolev 空间里都有良好的有界性。这让 Fredholm 理论和数值离散都有了合法性。
数学形式：
- $S,K,K’$ 从 $C(\partial D)$ 映到 $C^{0,\alpha}(\partial D)$ 有界；
- $S,K$ 从 $C^{0,\alpha}(\partial D)$ 映到 $C^{1,\alpha}(\partial D)$ 有界；
- $T$ 从 $C^{1,\alpha}(\partial D)$ 映到 $C^{0,\alpha}(\partial D)$ 有界；
- 并且 $S:L^2(\partial D)\to H^1(\partial D)$ 有界。
Theorem 3.7：外域 Dirichlet 问题唯一性
定位：Ch.3 §3.2, Theorem 3.7
人话： 对 sound-soft 障碍物，给定边界值以后，外域辐射解至多只有一个。
数学形式： 外域 Dirichlet 问题 $$ \Delta u+k^2u=0\quad \text{in }\mathbb R^3\setminus D, \qquad u=f\quad \text{on }\partial D, $$ 满足 Sommerfeld 辐射条件时，解唯一。
Theorem 3.12：Huygens 表示公式
定位：Ch.3 §3.2, Theorem 3.12
人话： sound-soft 散射场完全由边界上的法向导数决定。
数学形式： $$ u^s(x)=-\int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)\Phi(x,y),ds(y), $$ 且远场模式满足 $$ u_\infty(\hat x)= -\frac1{4\pi}\int_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial \nu}(y)e^{-ik\hat x\cdot y},ds(y). $$
Theorem 3.13：声学互易关系
定位：Ch.3 §3.3, Theorem 3.13
人话： 把“入射方向”和“观察方向”交换，远场模式满足一个简单对称关系。
数学形式： $$ u_\infty(\hat x;d)=u_\infty(-d; -\hat x),\qquad \hat x,d\in\Omega. $$
Theorem 3.15：Herglotz 波函数的核是唯一的
定位：Ch.3 §3.3, Theorem 3.15
人话： 如果一个 Herglotz 波函数处处为零，那它的球面核函数也只能是零。
数学形式： 若 $$ v(x)=\int_\Omega e^{ikx\cdot d}g(d),ds(d) $$ 在 $\mathbb R^3$ 中恒为零，则 $g=0$。
Theorem 3.17：远场完备性的判别准则
定位：Ch.3 §3.3, Theorem 3.17
人话： 所有入射平面波产生的 far field 是否足够“张满” $L^2(\Omega)$，等价于域内不存在既是 Dirichlet 特征函数又是 Herglotz 波函数的坏对象。
数学形式： 令 $$ \mathcal F=\{u_\infty(\cdot;d_n):n=1,2,\dots\}, $$ 其中 $(d_n)$ 在 $\Omega$ 中稠密。 则 $\mathcal F$ 在 $L^2(\Omega)$ 中完备，当且仅当不存在非平凡 Herglotz 波函数 $v$ 满足 $$ \Delta v+k^2v=0\text{ in }D,\qquad v=0\text{ on }\partial D. $$
Theorem 3.19：第一类积分方程的可解性
定位：Ch.3 §3.3, Theorem 3.19
人话： 想通过叠加入射波来造出一个指定的散射远场，等价于一个内部 Dirichlet 问题可解且其解是 Herglotz 波函数。
数学形式： 方程 $$ \int_\Omega u_\infty(\hat x;d)g(d),ds(d)=v_\infty(\hat x) $$ 可解，当且仅当内部问题 $$ \Delta v^i+k^2v^i=0\text{ in }D,\qquad v^i+v^s=0\text{ on }\partial D $$ 可解，且 $v^i$ 为 Herglotz 波函数。
Theorem 3.22：Herglotz 波函数的增长刻画
定位：Ch.3 §3.3, Theorem 3.22
人话： entire Helmholtz 解什么时候能写成 Herglotz 波？答案是看它的平均增长率是否受控。
数学形式： entire solution $v$ 是 Herglotz 波函数，当且仅当 $$ \sup_{R>0}\frac1R\int_{|x|<R}|v(x)|^2dx<\infty. $$
六、Chapter 4：Ill-Posed Problems
这是全书真正的“方法引擎”。
Theorem 4.2：第一类紧算子方程天然不适定
定位：Ch.4 §4.1, Theorem 4.2
人话： 只要未知空间不是有限维，紧算子第一类方程就天然不适定。
数学形式： 若 $A:U\subset X\to Y$ 是完全连续算子，且 $U$ 不是有限维，则 $$ A\varphi=f $$ 是不适定问题。
Theorem 4.4：正则化族不可能既统一有界又一致收敛
定位：Ch.4 §4.2, Theorem 4.4
人话： 对无穷维紧算子，正则化不可能“什么都要”：你不可能既让 $R_\alpha$ 全部有统一界，又让 $R_\alpha A$ 在算子范数下一致逼近恒等。
Theorem 4.8（Picard）：可解性的奇异值判据
定位：Ch.4 §4.3, Theorem 4.8
人话： 紧算子方程是否可解，完全取决于数据在奇异向量方向上的系数衰减得够不够快。
数学形式： 设 $A:X\to Y$ 的奇异系统为 $(\mu_n,\varphi_n,g_n)$。则 $$ A\varphi=f $$ 可解，当且仅当 $f\in N(A^*)^\perp$ 且 $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{|(f,g_n)|^2}{\mu_n^2}<\infty. $$ 这时解为 $$ \varphi=\sum_{n=1}^\infty \frac{(f,g_n)}{\mu_n}\varphi_n. $$
Theorem 4.9：滤波型正则化总框架
定位：Ch.4 §4.3, Theorem 4.9
人话： 只要你给的滤波函数 $q(\alpha,\mu)$ 满足合适条件，就能构造一整类正则化算子。
数学形式： $$ R_\alpha f =\sum_{n=1}^\infty \frac1{\mu_n}q(\alpha,\mu_n)(f,g_n)\varphi_n. $$ 若 $$ |q(\alpha,\lambda)|\le c(\alpha)\lambda, \qquad \lim_{\alpha\to0}q(\alpha,\mu)=1, $$ 则 $R_\alpha$ 构成正则化方案。
Theorem 4.10：截断谱正则化
定位：Ch.4 §4.3, Theorem 4.10
人话： 最简单的正则化就是“把太小的奇异值方向直接砍掉”。
数学形式： $$ R_m f=\sum_{n=1}^m \frac{(f,g_n)}{\mu_n}\varphi_n, $$ 且 $$ \|R_m\|=\frac1{\mu_m}. $$
Theorem 4.13-4.16：Tikhonov 正则化
定位：Ch.4 §4.4, Theorem 4.13-4.16
人话： Tikhonov 的本质是“数据拟合 + 范数惩罚”的平衡，它既可以写成算子方程，也可以写成优化问题，还能配合 discrepancy principle 自动选参数。
数学形式：
- 算子形式： $$ R_\alpha=(\alpha I+A^A)^{-1}A^. $$
- 变分形式： $$ \varphi_\alpha =\arg\min_{\varphi\in X} \big(\|A\varphi-f\|^2+\alpha\|\varphi\|^2\big). $$
- discrepancy principle： 当 $\|f^\delta-f\|\le \delta$ 时，选 $\alpha$ 使 $$ \|AR_\alpha f^\delta-f^\delta\|=\delta $$ 或对应带系数的 Morozov 形式成立。
Theorem 4.17-4.18：quasi-solution
定位：Ch.4 §4.4, Theorem 4.17-4.18
人话： 如果你更相信“解应该落在一个半径球里”，那就可以把正则化改成“带约束的最小残差”。
数学形式： $$ \varphi_0 =\arg\min_{\|\varphi\|\le p}\|A\varphi-f\|. $$ 它与 Tikhonov 的联系是：存在 $\alpha>0$ 使得 $$ \alpha \varphi_0+A^*A\varphi_0=A^*f, \qquad \|\varphi_0\|=p. $$
Theorem 4.19 + 4.20：非线性情形的两条底线
定位：Ch.4 §4.5, Theorem 4.19; Theorem 4.20
人话：
- 非线性不适定问题一旦线性化，导数算子还是紧的，所以 ill-posedness 并不会因为 Newton 法而消失。
- 对弱序闭算子，非线性 Tikhonov 最小化问题至少存在极小元。
数学形式：
- 若 $A$ 完全连续且 Fréchet 可微，则导数 $A’_\varphi$ 是紧算子。
- 非线性 Tikhonov： $$ \|A\varphi_\alpha-f\|^2+\alpha\|\varphi_\alpha\|^2 =\inf_{\varphi\in U} \big(\|A\varphi-f\|^2+\alpha\|\varphi\|^2\big) $$ 的极小元存在。
七、Chapter 5：Inverse Acoustic Obstacle Scattering
Theorem 5.1：声软障碍物的唯一性
定位：Ch.5 §5.1, Theorem 5.1
人话： 对 sound-soft obstacle，如果一个固定波数下，足够多不同入射方向给出的远场完全一样，那么障碍物就必须相同。
数学形式： 若两个 sound-soft 散射体 $D_1,D_2$ 的 far field patterns 对无限多个不同入射方向、同一固定 $k$ 都相同，则 $$ D_1=D_2. $$
Theorem 5.2 + Corollary 5.3：有限入射方向下的唯一性
定位：Ch.5 §5.1, Theorem 5.2; Corollary 5.3
人话： 如果事先知道障碍物足够小，那么只需有限个方向，甚至一个方向，就能唯一确定它。
数学形式： 若散射体都包含在半径 $R$ 的球中，定义 $$ N:=\sum_{t_{n\ell}<kR}(2n+1), $$ 其中 $t_{n\ell}$ 是球 Bessel 函数 $j_n$ 的正零点。若两个散射体对 $N+1$ 个不同入射方向有相同远场，则 $$ D_1=D_2. $$ 特别地，当 $$ kR<\pi $$ 时，一个入射平面波就够。
Theorem 5.4：内部 Dirichlet 问题的紧致收敛
定位：Ch.5 §5.1, Theorem 5.4
人话： 边界数据只要弱收敛，内部解在紧集上就会一致收敛。这是后面边界连续依赖与反演收敛的技术底座。
Theorem 5.5：平面波边界迹的完备性
定位：Ch.5 §5.1, Theorem 5.5
人话： 在不是 Dirichlet 特征值的频率下，所有平面波在边界上的限制足以张满 $L^2(\partial D)$。
数学形式： 若 $k^2$ 不是 $D$ 的 Dirichlet eigenvalue，则 $$ \{u^i(\cdot;d)=e^{ikx\cdot d}: d\in\Omega\}\big|_{\partial D} $$ 在 $L^2(\partial D)$ 中完备。
Theorem 5.17-5.18：内部辅助面上的两个关键算子
定位：Ch.5 §5.4, Theorem 5.17; Theorem 5.18
人话： Kirsch-Kress 方法要先在内部辅助面 $\Gamma$ 上重构散射场。为此需要两个算子都“可逆到足够程度”，即单射且像稠密。
数学形式：
Far field operator $$ (F\varphi)(\hat x) =\frac1{4\pi}\int_\Gamma e^{-ik\hat x\cdot y}\varphi(y),ds(y) $$ 在 $k^2$ 不是 $\Gamma$ 内部 Dirichlet 特征值时，单射且像稠密。
Single-layer operator $$ (S\varphi)(x)=\int_\Gamma \varphi(y)\Phi(x,y),ds(y),\qquad x\in\Lambda $$ 也单射且像稠密。
Theorem 5.20-5.22：Kirsch-Kress 优化问题的存在与收敛
定位：Ch.5 §5.4, Theorem 5.20-5.22
人话： 把“重构散射场”和“找零等值面”合并成一个正则化优化问题后，最优面存在；若数据精确，代价函数会趋于零，极限面上总场消失。
数学形式： 成本泛函 $$ \mu(\varphi,\Lambda;\alpha) =\|F\varphi-u_\infty\|{L^2(\Omega)}^2 +\alpha\|\varphi\|{L^2(\Gamma)}^2 +\gamma\|u^i+S\varphi\|_{L^2(\Lambda)}^2. $$
- Theorem 5.20：对每个 $\alpha>0$，存在最优曲面；
- Theorem 5.21：若数据精确， $$ \lim_{\alpha\to0}m(\alpha)=0; $$
- Theorem 5.22：若 $\alpha_n\to0$，则最优曲面的极限点 $\Lambda^*$ 满足总场在其上为零。
八、Chapter 6：The Maxwell Equations
Theorem 6.1-6.2：Stratton-Chu 表示公式
定位：Ch.6 §6.2, Theorem 6.1; Theorem 6.2
人话： 这是 Maxwell 版的 Green 表示公式。它告诉你：只要知道边界上的切向电场/磁场，就能重建域内场。
数学形式：
- 一般形式（Theorem 6.1）较长，核心是把 $E$ 写成边界项 + 体积分项。
- 若 $E,H$ 满足 Maxwell 方程，则边界表示简化成 $$ E(x)=\operatorname{curl}\int_{\partial D}\nu(y)\times E(y)\Phi(x,y),ds(y) +\frac1{ik}\operatorname{curlcurl}\int_{\partial D}\nu(y)\times H(y)\Phi(x,y),ds(y), $$ $$ H(x)= -\operatorname{curl}\int_{\partial D}\nu(y)\times H(y)\Phi(x,y),ds(y) -\frac1{ik}\operatorname{curlcurl}\int_{\partial D}\nu(y)\times E(y)\Phi(x,y),ds(y). $$
Theorem 6.4：Maxwell 与向量 Helmholtz 的等价关系
定位：Ch.6 §6.2, Theorem 6.4
人话： Maxwell 解自动散度为零，并满足向量 Helmholtz 方程；反过来，散度自由的向量 Helmholtz 解也能恢复 Maxwell 对。
数学形式： $$ \operatorname{div}E=\operatorname{div}H=0, $$ 并且 $$ \Delta E+k^2E=0,\qquad \Delta H+k^2H=0. $$
Theorem 6.6-6.8：外域表示、Silver-Müller 与远场
定位：Ch.6 §6.2, Theorem 6.6-6.8
人话： Maxwell 外域辐射解也有标准远场渐近式，而且磁远场和电远场并不是两套独立数据。
数学形式： $$ E(x)=\frac{e^{ik|x|}}{|x|}\{E_\infty(\hat x)+O(|x|^{-1})\}, $$ $$ H(x)=\frac{e^{ik|x|}}{|x|}\{H_\infty(\hat x)+O(|x|^{-1})\}, $$ 并且 $$ H_\infty=\hat x\times E_\infty,\qquad \hat x\cdot E_\infty=\hat x\cdot H_\infty=0. $$
Theorem 6.9：零远场即零电磁场
定位：Ch.6 §6.2, Theorem 6.9
人话： 电远场或者磁远场只要一个恒为零，整个辐射电磁场就为零。
Theorem 6.11-6.13：向量势的跳跃关系
定位：Ch.6 §6.3, Theorem 6.11-6.13
人话： 磁偶极势穿过边界时的切向旋度会跳，这正是后面 Maxwell 边界积分方程的核心机制。
数学形式： 若 $$ A(x)=\int_{\partial D}a(y)\Phi(x,y),ds(y), $$ 则 $$ \nu(x)\times \operatorname{curl}A_\pm(x) =2\int_{\partial D}\nu(x)\times \operatorname{curl}_x\{a(y)\Phi(x,y)\},ds(y) \pm a(x). $$
Theorem 6.28：电磁互易关系
定位：Ch.6 §6.6, Theorem 6.28
人话： 电磁远场也满足入射方向和观察方向交换的 reciprocity。
数学形式： $$ q\cdot E_\infty(\hat x;d,p) =p\cdot E_\infty(-d; -\hat x,q). $$
Theorem 6.30：电磁 Herglotz 对的增长刻画
定位：Ch.6 §6.6, Theorem 6.30
人话： entire Maxwell 解什么时候能写成 Herglotz 叠加，也有和声学类似的增长判据。
数学形式： 整个 Maxwell 解 $(E,H)$ 是 electromagnetic Herglotz pair，当且仅当 $$ \sup_{R>0}\frac1R\int_{|x|<R}(|E(x)|^2+|H(x)|^2),dx<\infty. $$
Theorem 6.32-6.35：电磁远场的完备性、可解性与“消掉坏特征值”
定位：Ch.6 §6.6, Theorem 6.32; Corollary 6.33; Theorem 6.34; Theorem 6.35
人话：
- Theorem 6.32：电远场完备当且仅当没有 Maxwell 特征模同时又是 Herglotz 对；
- Corollary 6.33：等价地，far field operator 单射且像稠密；
- Theorem 6.34：第一类方程可解，当且仅当一个内部 Maxwell 边值问题有 Herglotz 解；
- Theorem 6.35：若把电远场和磁远场按合适线性组合，就能绕开单独的 Maxwell eigenvalue 例外。
代表性数学形式：
完备性判据： $$ \mathcal F=\{E_\infty(\cdot;d_n,e_j)} $$ 在 $T^2(\Omega)$ 中完备，当且仅当不存在非平凡 electromagnetic Herglotz pair 满足 $$ \nu\times E=0\quad \text{on }\partial D. $$
第一类方程： $$ \int_\Omega E_\infty(\hat x;d,g(d)),ds(d)=\mathcal E_\infty(\hat x) $$ 可解，当且仅当相应内部 Maxwell 问题有 Herglotz 解。
九、Chapter 7：Inverse Electromagnetic Obstacle Scattering
这一章大体是第 5 章的 Maxwell 版本。
Theorem 7.1-7.2：完美导体的唯一性
定位：Ch.7 §7.1, Theorem 7.1; Theorem 7.2
人话：
- 对固定波数，只要所有入射方向和极化下的电远场一致，perfect conductor 就唯一；
- 反过来，如果入射方向和极化固定，只要在一个波数区间上远场一致，障碍物仍唯一。
数学形式：
- Theorem 7.1： $$ E_{1,\infty}=E_{2,\infty} \text{ for all directions/polarizations} \implies D_1=D_2. $$
- Theorem 7.2： 一个固定 incident configuration 下，只要对区间 $$ k_1<k<k_2 $$ 的所有波数远场一致，也有 $D_1=D_2$。
Theorem 7.3：边界的连续依赖
定位：Ch.7 §7.2, Theorem 7.3
人话： 若一串星形边界在 $C^{1,\alpha}$ 意义下收敛，对应 Maxwell 解在紧集上一致收敛。
Theorem 7.4-7.5：电磁 Kirsch-Kress 方法里的两个算子
定位：Ch.7 §7.3, Theorem 7.4; Theorem 7.5
人话： 内部辅助面 $\Gamma$ 上的 far field operator 和 magnetic dipole operator 都是单射且像稠密，这保证了“先重构场，再找边界”这条路线可行。
数学形式：
Far field operator $$ (Fa)(\hat x)=\frac{ik}{4\pi},\hat x\times\hat x\times \int_\Gamma e^{-ik\hat x\cdot y}a(y),ds(y) $$ 单射且像稠密。
Magnetic dipole operator $$ (Ma)(x)=\nu(x)\times\operatorname{curl}\int_\Gamma a(y)\Phi(x,y),ds(y) $$ 也单射且像稠密。
Theorem 7.7-7.9：电磁 Kirsch-Kress 优化问题
定位：Ch.7 §7.3, Theorem 7.7-7.9
人话： 和声学一样，电磁版本的正则化几何优化问题也有最优面存在性和精确数据下的收敛结论。
成本泛函： $$ \mu(a,\Lambda;\alpha) =\|Fa-E_\infty\|{T^2(\Omega)}^2 +\alpha\|a\|{T^2(\Gamma)}^2 +\gamma\|\nu\times E^i+Ma\|_{T^2(\Lambda)}^2. $$
Theorem 7.10-7.15：Colton-Monk 的电磁版
定位：Ch.7 §7.4, Theorem 7.10-7.15
人话： 这一组定理告诉你：通过 superposition of incident fields，可以把逆障碍物问题变成一个先解第一类方程、再做几何优化的问题，而且该方法在无 Maxwell eigenvalue 时有完整的存在与收敛理论。
其中最关键的两条是：
Theorem 7.11： $$ (Hg)(x)=\nu(x)\times\int_\Omega ik e^{ikx\cdot d}g(d),ds(d) $$ 单射且像稠密；
Theorem 7.14-7.15： 用 cost functional $$ \mu(g,\Lambda;\alpha)=\|Fg-E_\infty\|^2+\alpha\|Hg+\nu\times E^i\|^2 $$ 构造的最优面在精确数据下会逼近满足边界条件的曲面。
十、Chapter 8：Acoustic Waves in an Inhomogeneous Medium
这一章是“介质散射”主线的真正起点。
Theorem 8.1-8.3：体势、Lippmann-Schwinger 与正问题等价
定位：Ch.8 §8.1-§8.2, Theorem 8.1; Theorem 8.2; Theorem 8.3
人话： 介质散射不再是边界积分，而是体积分。Lippmann-Schwinger 方程就是它的主战场。
数学形式：
- 体势 $$ u(x)=\int \Phi(x,y)\varphi(y),dy $$ 具有 $C^{2,\alpha}$ 正则性；
- 若 $u$ 解散射问题，则 $$ u(x)=u^i(x)-k^2\int \Phi(x,y)m(y)u(y),dy; $$
- 反过来，只要这个积分方程成立，就恢复到散射 PDE。
Theorem 8.6：唯一继续原理
定位：Ch.8 §8.3, Theorem 8.6
人话： 介质方程解如果在某个小邻域里为零，那么整个连通域里都为零。这是所有唯一性证明的门槛定理。
数学形式： 若 $u\in C^2(G)$ 满足 $$ \Delta u+k^2n(x)u=0 $$ 且在某邻域内消失，则在 $G$ 中恒为零。
Theorem 8.7：非均匀介质正问题的存在唯一性
定位：Ch.8 §8.3, Theorem 8.7
人话： 只要介质满足书里的正则性与有耗假设，声学介质散射的正问题就是良定的。
Theorem 8.8：介质散射的互易关系
定位：Ch.8 §8.4, Theorem 8.8
人话： 介质散射的 far field 依然保留了声学 reciprocity：交换入射方向和观察方向，只需同时取反。
数学形式： $$ u_\infty(\hat x;d)=u_\infty(-d; -\hat x). $$
Theorem 8.9：远场正交补与 interior transmission problem
定位：Ch.8 §8.4, Theorem 8.9
人话： far field 模式的“缺失方向”恰好对应 interior transmission problem 的非平凡解。这是 transmission eigenvalue 理论进入逆散射的入口。
数学形式： $\mathcal F^\perp$ 中的函数 $g$ 与如下问题对应： 存在 Herglotz 波 $$ v(x)=\int_\Omega e^{ikx\cdot d}g(d),ds(d) $$ 以及 $w$，使得 $$ \Delta w+k^2n(x)w=0,\qquad \Delta v+k^2v=0 \quad \text{in }D, $$ $$ w=v,\qquad \frac{\partial w}{\partial \nu}=\frac{\partial v}{\partial \nu} \quad \text{on }\partial D. $$
Theorem 8.12：有耗介质下没有 transmission eigenvalue
定位：Ch.8 §8.4, Theorem 8.12
人话： 只要 $\operatorname{Im}n\neq 0$，就不会出现 transmission eigenvalue；于是 far field family 在 $L^2(\Omega)$ 中总是完备。
数学形式： 若 $$ \operatorname{Im}n\neq 0, $$ 则 $k>0$ 不是 transmission eigenvalue，等价地，$\mathcal F$ 在 $L^2(\Omega)$ 中完备。
Theorem 8.29 + 8.32：Transmission eigenvalue 的谱结构
定位：Ch.8 §8.6, Theorem 8.29; Theorem 8.32
人话： 在适当加权空间里先证明紧嵌入，再用解析 Fredholm 理论，最终得到 transmission eigenvalues 至多离散。
数学形式：
Theorem 8.29：在条件 $m(x)>0$ 与附加可积条件下， $$ W\hookrightarrow L^2_{1/m}(D) $$ 是紧嵌入；
Theorem 8.32： transmission eigenvalues 的集合要么为空，要么是离散集。
这条结论在研究上非常关键，但在初读时非常容易被忽略。
十一、Chapter 9：Electromagnetic Waves in an Inhomogeneous Medium
Theorem 9.1-9.2：电磁 Lippmann-Schwinger 方程
定位：Ch.9 §9.2, Theorem 9.1; Theorem 9.2
人话： 电磁介质散射也能改写成积分方程，只是会多出一个关于 $\nabla n\cdot E$ 的梯度项。
数学形式： $$ E(x)=E^i(x)-k^2\int_{\mathbb R^3}\Phi(x,y)m(y)E(y),dy +\nabla\int_{\mathbb R^3}\frac1{n(y)}\nabla n(y)\cdot E(y)\,\Phi(x,y),dy. $$ 该积分方程与散射 PDE 等价。
Theorem 9.3-9.5：电磁介质中的唯一继续、唯一性与存在性
定位：Ch.9 §9.2, Theorem 9.3; Theorem 9.4; Theorem 9.5
人话： 一旦把积分方程建立起来，电磁介质散射的正问题也能完整闭环：unique continuation、uniqueness、existence 全都有。
Theorem 9.6：电磁介质散射的互易关系
定位：Ch.9 §9.3, Theorem 9.6
人话： 电磁介质散射的 reciprocity 和障碍物散射是一致的，本质上仍是“入射配置”和“观察配置”之间的双线性对称。
数学形式： $$ q\cdot E_\infty(\hat x;d,p)=p\cdot E_\infty(-d; -\hat x,q). $$
Theorem 9.7-9.8：电磁 interior transmission problem 与完备性
定位：Ch.9 §9.3, Theorem 9.7; Theorem 9.8
人话： 和声学一样，电远场族的正交补正好对应电磁 interior transmission problem；若介质有耗或导电，则远场族完备。
数学形式：
Theorem 9.7：$g\in \mathcal F^\perp$ 当且仅当存在解 $(E_0,E_1,H_0,H_1)$ 满足 $$ \operatorname{curl}E_1-ikH_1=0,\qquad \operatorname{curl}H_1+ikn(x)E_1=0, $$ $$ \operatorname{curl}E_0-ikH_0=0,\qquad \operatorname{curl}H_0+ikE_0=0, $$ 以及 $$ \nu\times(E_1-E_0)=0,\qquad \nu\times(H_1-H_0)=0 $$ 于 $\partial D$，且 $(E_0,H_0)$ 是 Herglotz 对。
Theorem 9.8：若介质导电，则 $\mathcal F$ 在 $T^2(\Omega)$ 中完备。
Theorem 9.9：球对称介质里奇异 ODE 的渐近解
定位：Ch.9 §9.4, Theorem 9.9
人话： 这是一个非常偏门但很关键的技术定理。它给出了径向 ODE 的高频渐近形式，用于证明球对称 dielectric 情形下确实会出现坏频率。
数学形式： 对 $$ z’’+[k^2-p(\xi)]z=0 $$ 存在满足特定渐近展开的解 $z(\xi)$，并有误差估计。这条定理本身不是逆问题结论，但它支撑了后面的“incompleteness can happen”。
Theorem 9.12-9.15：外阻抗边值问题
定位：Ch.9 §9.5, Theorem 9.12-9.15
人话： 如果把电磁介质近似成 exterior impedance problem，那么正问题依然存在唯一解，而且其 far field family 又重新变得完备。
代表性数学形式：
- Theorem 9.12：对 $\lambda>0$，外阻抗问题唯一可解；
- Theorem 9.13： $$ NR-i\lambda R(I+M) $$ 可逆；
- Theorem 9.14：阻抗情形的 reciprocity 成立；
- Theorem 9.15：对应 electric far field patterns 在 $T^2(\Omega)$ 中完备。
十二、Chapter 10：The Inverse Medium Problem
这是整本书最后的“兑现章节”。
Theorem 10.1：Calderón 型完备性
定位：Ch.10 §10.2, Theorem 10.1
人话： 整个 harmonic 函数的乘积在 $L^2(D)$ 里是完备的。这个结果是后面唯一性定理的雏形。
数学形式： $$ \{h_1h_2:\ h_1,h_2\text{ entire harmonic}\} $$ 在 $L^2(D)$ 中完备。
Lemma 10.3：CGO 型解
定位：Ch.10 §10.2, Lemma 10.3
人话： 这是声学逆介质唯一性证明里最硬核的一步。它构造了形如 $e^{iz\cdot x}(1+w)$ 的特殊解，并控制余项 $w$。
数学形式： 若 $z\in\mathbb C^3$ 满足 $z\cdot z=0$ 且 $|\Re z|$ 足够大，则存在 $$ v(x)=e^{iz\cdot x}(1+w(x)) $$ 满足 $$ \Delta v+k^2n(x)v=0, $$ 并且 $$ \|w\|_{L^2(D)}\le \frac{C}{|\Re z|}. $$
Theorem 10.5：三维声学逆介质唯一性
定位：Ch.10 §10.2, Theorem 10.5
人话： 三维里，在固定波数下，只要知道所有入射方向和观察方向的远场模式，就能唯一确定折射率。
数学形式： 若两个折射率 $n_1,n_2$ 对同一固定 $k$ 满足 $$ u_{1,\infty}(\hat x;d)=u_{2,\infty}(\hat x;d) \qquad \forall \hat x,d\in\Omega, $$ 则 $$ n_1=n_2. $$
Theorem 10.6：dual space method 的稠密性核心
定位：Ch.10 §10.3, Theorem 10.6
人话： 这是声学 dual space method 能成立的关键。它说某个由 Herglotz 波与内部解拼出的边界数据子空间，在 $L^2(\partial D)\times L^2(\partial D)$ 里是稠密的。
Theorem 10.8：修改版 dual space method 里的内部阻抗问题
定位：Ch.10 §10.4, Theorem 10.8
人话： 为了绕开 transmission eigenvalue，书里引入 modified dual space method，而其核心就是一个内部阻抗问题的存在唯一性。
数学形式（简述）： 在适当的 $\lambda$ 取值下，内部阻抗问题存在唯一解，并可分解成 $$ w=w^i+w^s, $$ 其中 $w^i$ 是内部 Helmholtz 解，$w^s$ 是满足辐射条件的外部项。
Theorem 10.10：电磁 dual space method 的判别式
定位：Ch.10 §10.5, Theorem 10.10
人话： 电磁情形里，要让某个线性泛函落在 far field family 上，等价于一个电磁 interior transmission problem 有 Herglotz 解。
数学形式： 对由点偶极生成的场 $E_q,H_q$，存在 $g\in T^2(\Omega)$ 使 $$ \int_\Omega E_\infty(\hat x;d,p),g(\hat x),ds(\hat x) =ik,p\cdot(q\times d) $$ 对所有 $p,d$ 成立，当且仅当相应 electromagnetic interior transmission problem 有 Herglotz 解。
Theorem 10.12-10.13：电磁 interior transmission problem 的弱解唯一性与存在性
定位：Ch.10 §10.5, Theorem 10.12; Theorem 10.13
人话： 在 $\varepsilon(x)=\varepsilon_0$ 的特定情形下，书里把电磁内部传输问题改写成弱形式，并证明弱解存在唯一。
Theorem 10.15-10.17：电磁 modified dual space method 的阻抗框架
定位：Ch.10 §10.5, Theorem 10.15-10.17
人话： 这三条定理对应 modified dual space method 的电磁版本：
- Theorem 10.15：内部阻抗问题唯一；
- Theorem 10.16：内部阻抗问题存在；
- Theorem 10.17：满足目标积分恒等式的条件，可以用 Herglotz 对来刻画。
Theorem 10.18：二维固定波数只能唯一确定“跳变”
定位：Ch.10 §10.7, Theorem 10.18
人话： 二维情形比三维更难。固定波数下，你一般不能唯一恢复完整折射率，但可以恢复它的 discontinuity set。
数学形式： 若 $n_1,n_2\in L^\infty(\mathbb R^2)$，对应 far field 在所有方向下相同，则 $$ n_1-n_2\in C_0^{0,\alpha}(\mathbb R^2),\qquad 0<\alpha<1. $$ 也就是说，差值是 Hölder 连续紧支撑函数，所以 jump discontinuity 必须相同。
Theorem 10.19：二维多频唯一性
定位：Ch.10 §10.7, Theorem 10.19
人话： 二维里，若把数据从“单频”升级到“一个波数区间”，完整折射率又能唯一恢复。
数学形式： 若对一个波数区间以及所有 $\hat x,d\in\Omega$， $$ u_{1,\infty}(\hat x;d,k)=u_{2,\infty}(\hat x;d,k), $$ 则 $$ n_1=n_2. $$
Theorem 10.22：带非标准内积的投影分解
定位：Ch.10 §10.7, Theorem 10.22
人话： 这是一个很偏门但很漂亮的 Hilbert 空间投影定理。它不是散射结论本身，却是二维支持恢复算法能写成投影法的关键工具。
数学形式： 对闭子空间 $H\subset X$，有 $$ X=H^{\dashv}\oplus H, $$ 其中正交性是相对于一个有界强制 sesquilinear form 定义的。
Theorem 10.24-10.26：二维 support determination 的理论闭环
定位：Ch.10 §10.7, Theorem 10.24; Theorem 10.25; Theorem 10.26
人话：
- Theorem 10.24：二维 interior transmission problem 的弱解至多一个；
- Theorem 10.25：弱解存在；
- Theorem 10.26：对每个内点 $z\in D$，总能找到 far field equation 的近似解 $g(\cdot,z)$，而且当 $z\to\partial D$ 时，$\|g\|$ 和对应 Herglotz 波都会 blow up。
这最后一条就是数值上“扫点找边界”的理论依据。
代表性数学形式： 对任意 $\varepsilon>0$ 与 $z\in D$，存在 $g(\cdot,z)\in L^2(\Omega)$ 使 $$ \left\| \int_\Omega u_\infty(\cdot;d)g(d),ds(d)-\Phi_\infty(\cdot,z) \right\|{L^2(\Omega)}<\varepsilon, $$ 并且 $$ \lim{z\to\partial D}\|g\|{L^2(\Omega)}=\infty, \qquad \lim{z\to\partial D}\|v_g\|_{L^2(D)}=\infty. $$
十三、我建议重点反复看的定理清单
如果只打算反复吃透一小部分，我建议优先抓下面这些：
- Theorem 2.5：far field 的定义与表示。
- Theorem 2.13：零远场即零解。
- Theorem 3.1：单层/双层势跳跃关系。
- Theorem 3.17：far field 完备性的声学判据。
- Theorem 4.8：Picard 定理。
- Theorem 4.13-4.16：Tikhonov 正则化。
- Theorem 6.8-6.9：Maxwell 远场与零远场唯一性。
- Theorem 6.32-6.35：电磁 far field 的完备性与第一类方程可解性。
- Theorem 8.9：interior transmission problem 如何进入介质散射。
- Theorem 8.12 与 8.32：有耗介质无 transmission eigenvalue；一般情形下 transmission eigenvalue 离散。
- Theorem 9.7-9.8：电磁介质里完备性与 transmission problem 的关系。
- Theorem 10.5：三维声学逆介质唯一性。
- Theorem 10.6 与 10.8：dual space / modified dual space method 的理论基础。
- Theorem 10.18 与 10.19：二维固定频率与多频率唯一性的本质差别。
- Theorem 10.26：二维 support determination 的 blow-up 判据。
十四、总结
如果把这篇定理笔记压成一句话，它的结构是这样的：
Chapter 2-3 负责把 Helmholtz 外域问题变成边界积分问题，Chapter 4 负责说明为什么必须正则化，Chapter 5-7 处理逆障碍物，Chapter 8-9 处理介质散射与 transmission eigenvalue，Chapter 10 则把所有这些定理收束到 inverse medium problem、dual space method 和二维 support recovery。
真正把全书串起来的，不是某一个 PDE，而是下面这条链：
表示公式 → 远场模式 → 完备性 / 正交补 → transmission problem → 正则化求逆。
这也是我认为读这本书时最应该建立起来的“定理骨架”。