这篇笔记在做什么

这不是第 2 章的逐页摘抄，而是把这一章最核心的公式翻成“人话”：

这条公式在算什么。
它为什么重要。
它在整章里的位置是什么。
真正写代码或做分析时，应该怎么理解它。

括号里的编号都是书中的公式编号或节号。

先说结论：第二章到底在干什么

如果只用一句话概括，第 2 章做的是：

把“层状介质中的波”改写成可以递推、可以积分、可以渐近、可以矩阵推进的问题。

它有五条主线：

把 TE/TM 波压成一维标量方程。
把线源和点源拆成平面波谱。
把多层反射写成递推关系。
当积分太难时，用渐近法和 WKB 抓主导项。
最后把这一切统一成传播矩阵。

通用记号

$z$：分层方向。
$x,y$：横向坐标。
$\rho$ 或 $p$：横向径向距离，通常 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$。
$k_x, k_\rho$ (或 $k_p$)：横向波数。
$k_z$：纵向波数，满足色散关系 $k_z = \sqrt{k^2 - k_\rho^2}$。
$R_{i,i+1}$：第 $i$ 层和第 $i+1$ 层局部界面的 Fresnel 反射系数。
$\tilde R_{i,i+1}$：把下方所有层都算进去后的“广义反射系数”。
TE/TM 中，对于连续非均匀剖面通常定义局部参量： $$ p(z)= \begin{cases} \mu(z), & \text{TE},\ \epsilon(z), & \text{TM}. \end{cases} $$

1. 先把分层介质压成一维问题

1.1 TE / TM 标量波动方程

位置：§2.1，(2.1.3)、(2.1.5)、(2.1.6)、(2.1.7)

书里的核心式子是：

TE 情形（电场只有 $y$ 分量 $E_y$）： $$ \left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\mu(z)\frac{\partial}{\partial z}\mu^{-1}(z)\frac{\partial}{\partial z} +\omega^2\mu\epsilon \right]E_y=0 $$

TM 情形（磁场只有 $y$ 分量 $H_y$）： $$ \left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\epsilon(z)\frac{\partial}{\partial z}\epsilon^{-1}(z)\frac{\partial}{\partial z} +\omega^2\mu\epsilon \right]H_y=0 $$

如果假设波沿 $x$ 方向传播，可以分离变量： $$ E_y(x,z) = e_y(z)e^{\pm i k_x x} $$ 从而将偏微分方程化为关于 $z$ 的一维常微分方程（如式 (2.1.8a)）。

人话翻译：

介质只沿 $z$ 方向变化，所以横向的 $x,y$ 其实没有真正的复杂结构。
于是你可以先把横向写成平面波或傅里叶模态。
真正难的部分只剩下“每个横向波数对应的一个一维纵向传播问题”。
这一步是整章最根本的降维：三维问题先变成“一堆一维问题”。

如果你做数值计算，这一步的意义就是：

以后所有反射、透射、传播、谱积分，都是对每个横向波数分量分别处理。

2. 多层介质的核心不是 Fresnel，而是“广义反射系数”

2.1 三层和多层的递推公式

位置：§2.1.3，(2.1.21) 到 (2.1.24)

书里最值得记住的是多层递推式（以广义反射系数 $\tilde R$ 表示）： $$ \tilde R_{i,i+1}

\frac{ R_{i,i+1} + \tilde R_{i+1,i+2} e^{2ik_{i+1,z}(d_{i+1}-d_i)} }{ 1+ R_{i,i+1}\tilde R_{i+1,i+2} e^{2ik_{i+1,z}(d_{i+1}-d_i)} } $$ (注：书中记为 $\tilde R_{12} = \frac{R_{12} + \tilde R_{23} e^{2ik_{2z}(d_2-d_1)}}{1 + R_{12}\tilde R_{23} e^{2ik_{2z}(d_2-d_1)}}$)

人话翻译：

你站在第 $i$ 层往下看，看到的反射并不只是当前界面的 Fresnel 反射 $R_{i,i+1}$。
它还包括波钻进下面以后，在更深层发生的所有来回反弹，被等效为 $\tilde R_{i+1,i+2}$。
指数项 $e^{2ik_{i+1,z}(d_{i+1}-d_i)}$ 是波在第 $i+1$ 层往下走再弹回来所经历的双程相位累积（和衰减）。
这个式子就是把“本层立刻反一次”和“下层进去再绕一圈回来”合并成一个等效反射。
所以 $\tilde R$ 是“从这里往下看，整个下半空间的总反射”。

这条公式为什么重要：

它把“无数次反射”压成了一个递推。
从最底层开始，设最下方没有再往下的反射，即 $\tilde R_{N,N+1}=0$，然后一层层往上推就行。
这比手工写无穷级数高效得多，也更适合程序实现。

2.2 多次反射的级数展开

位置：§2.1.3，(2.1.22)

书里把三层介质的广义反射系数展开成几何光学级数： $$ \tilde R_{12}

R_{12} +T_{12}R_{23}T_{21}e^{2ik_{2z}(d_2-d_1)} +T_{12}R_{23}^2R_{21}T_{21}e^{4ik_{2z}(d_2-d_1)} +\cdots $$

人话翻译：

第一项 $R_{12}$ 是“在第一层界面直接弹回来”。
第二项是“透射进第二层 ($T_{12}$)，在底层弹一次 ($R_{23}$)，再透射回第一层 ($T_{21}$)，并带上双程相位”。
第三项是“在第二层内多绕了一圈（多乘了 $R_{23}R_{21}$ 和双程相位）再回来”。

这个级数不是为了让你真的一项一项去算，而是让你知道：

递推式的物理内容，就是把所有内部多次反射都打包了。在有损耗或渐近分析时，展开成射线级数（ray series）有时更方便处理。

2.3 连续极限下的 Riccati 方程

位置：§2.1.4，(2.1.33)

当层变得无限薄，介质连续变化时，离散递推会变成连续常微分方程： $$ \frac{d}{dz}R(z)

2ik_z(z)R(z) + \frac{d}{dz}\ln\left(\frac{k_z}{p}\right) \frac{1-R^2(z)}{2} $$ 其中 $p(z)=\mu(z)\ (\text{TE})$ 或 $p(z)=\epsilon(z)\ (\text{TM})$。

人话翻译：

这个方程告诉你：局部相位积累给出 $2ik_zR$ 这一项。
局部介质的阻抗不匹配（由导数项表达）持续产生反射，贡献了 $(1-R^2)$ 这一项。
也就是说，反射不是只在突变界面上发生；当介质连续变化时，反射是在传播过程中“沿途”持续生成的。

这条式子最实用的理解是：

分层反射既可以离散算，也可以连续算。Riccati 方程就是反射系数的连续演化版本，非常适合数值积分。

3. 线源和点源都能拆成平面波谱

3.1 线源的平面波展开

位置：§2.2.1，(2.2.11)

恒等式： $$ \frac{i}{4}H_0^{(1)}(k_0 \rho)

\frac{i}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{k_y} e^{ik_x x+i k_y |y|} ,dk_x, \qquad k_y=(k_0^2-k_x^2)^{1/2} $$

人话翻译：

左边是一个二维柱面波（线源辐射）。
右边说：这个柱面波其实可以看成无穷多个平面波的叠加。
当 $|k_x|<k_0$ 时，$k_y$ 是实数，对应向外传播的平面波。
当 $|k_x|>k_0$ 时，$k_y$ 变成纯虚数，对应在 $y$ 方向指数衰减的倏逝波（evanescent waves）。

一旦你接受“源场 = 平面波谱的叠加”，那分层介质问题就可以转化为：对每个 $k_x$ 谱分量独立算一次一维反射/透射，最后再积起来。

3.2 点源的 Sommerfeld 恒等式

位置：§2.2.2，(2.2.30)

三维点源的球面波展开： $$ \frac{e^{ik_0 r}}{r}

i\int_0^\infty \frac{k_\rho}{k_z} J_0(k_\rho \rho)e^{ik_z|z|},dk_\rho, \qquad k_z=(k_0^2-k_\rho^2)^{1/2} $$

人话翻译：

左边是三维球面波。
右边把它写成了“横向柱贝塞尔模式 $J_0(k_\rho \rho)$”和“纵向平面波因子 $e^{ik_z|z|}$”的叠加。
这就是著名的 Sommerfeld identity。

它的实际意义极大：

分层介质只在 $z$ 上变，所以最自然的处理方式就是把点源的辐射场先拆解到 $k_\rho$ 域。
在每个 $k_\rho$ 模式下，纵向行为就是一个简单的 $e^{\pm ik_z z}$，完美契合前面的一维层状介质理论。

点源先谱分解，再逐个谱分量传播。

4. 有了谱表示，源在层状介质上方就能直接写成“直达项 + 反射项”

4.1 竖直电偶极子的谱积分骨架

位置：§2.3，(2.3.5)

书里对位于分层介质上方的竖直电偶极子，给出的场（以 TM 广义反射系数为例）骨架如下： $$ E_{1z} \propto \int_0^{\infty} \frac{k_\rho^3}{k_{1z}} J_0(k_\rho \rho) \left[ e^{ik_{1z}|z|} + \tilde R_{12}^{TM}e^{ik_{1z}(z+2d_1)} \right]dk_\rho $$

人话翻译：

方括号里的第一项 $e^{ik_{1z}|z|}$，是自由空间里的直达波成分。
第二项，是这个谱分量打到下方的分层介质表面，乘上它专属的“广义反射系数” $\tilde R_{12}^{TM}$，再带着往返相位 $e^{ik_{1z}(z+2d_1)}$ 返回到观察点的反射波成分。
关键在于：积分的每个 $k_\rho$ 都有自己对应的等效反射率 $\tilde R_{12}$ 和纵向波数 $k_{1z}$。

这件事说明：

分层介质中的源场，不是简单地拿整个球面波乘一个固定的 Fresnel 系数，而是将整个谱域展开，让不同空间频率的波独立反射后再干涉叠加。

5. 积分太难时，看驻相点、鞍点和奇点

5.1 驻相法：主贡献来自相位变化最慢的地方

位置：§2.5.1，(2.5.3)

书里说明对于高频（大参数）积分： $$ I=\int f(t)e^{\lambda h(t)}dt $$ 其主导贡献来自于使得相位函数 $h(t)$ 驻留的点 $t_0$，即： $$ h’(t_0)=0 $$

人话翻译：

如果相位振荡得极快，正负面积会剧烈抵消，积分结果趋于零。
只有在相位变化停滞的地方（驻相点），振荡最慢，抵消最不严重，贡献了绝大部分的积分值。
这本质上是波动光学向几何光学过渡的数学表达。

5.2 对 Sommerfeld 积分，驻相点选出了“几何射线”

位置：§2.5.1，(2.5.8)、(2.5.9) 及 §2.6

对 Sommerfeld 积分的反射项作渐近展开时，相位函数的导数为零给出： $$ \frac{d}{dk_\rho}\bigl(k_\rho \rho + k_z|z|\bigr)=0 $$ 解出驻相点： $$ k_{\rho,s} = k \sin\theta, \qquad \theta = \sin^{-1}\left(\frac{\rho}{r}\right) $$

人话翻译：

当你在远场某个特定的物理角度 $\theta$ 观察时，尽管场是所有波数 $k_\rho$ 的积分，但绝大部分能量仅仅来自于 $k_{\rho,s} = k\sin\theta$ 这个特定的平面波分量。
谱变量 $k_\rho$ 最终被“观察方向 $\theta$”筛选出来了。
这就是为什么渐近展开最后会漂亮地还原出直观的“射线反射”（或镜像源）模型。

5.3 积分路径变形与波模态的物理对应

位置：§2.6 和 §2.7

在复 $k_\rho$ 平面上形变积分路径（Steepest Descent Path）时，会遇到奇点：

极点 (Poles)：如果积分路径扫过极点，留数定理会吐出一项。在物理上，极点往往对应着导模 (Guided modes)、表面波 (Surface waves) 或泄漏模 (Leaky waves)。
分支点 (Branch points)：通常位于 $k_1, k_2$ 等处，对应着介质中波的纵向传播状态（实数 $k_z$ 到虚数 $k_z$）的切换。绕过分支切割线的积分（Branch cut integral）在物理上对应着侧向波 (Lateral waves)。

Sommerfeld 积分在复平面上的奇点结构，并不是数学家找茬，它就是分层介质物理波模态的精确映射。

6. WKB：介质变化够慢时，把每一小段都当成本地均匀介质

6.1 WKB 主公式与能流守恒

位置：§2.8.1，(2.8.17)、(2.8.18)

对于方程 $\frac{d^2\phi}{dz^2} + k_z^2(z)\phi = 0$，WKB 的解为： $$ \phi(z)\sim \frac{A_+}{\sqrt{s_z(z)}} \exp!\left( i\omega\int_{z_0}^{z}s_z(z’),dz' \right) + \frac{A_-}{\sqrt{s_z(z)}} \exp!\left( -i\omega\int_{z_0}^{z}s_z(z’),dz' \right) $$ 其中局部慢度 $s_z = k_z / \omega$。

人话翻译：

只要介质变化不剧烈，波在每一个局部都表现得像均匀介质里的平面波。
相位项是把局部波浪的相位增量 $\int k_z dz’$ 积分累加起来（所谓“Eikonal方程”）。
前面的振幅修正因子 $1/\sqrt{s_z}$ 绝不是装饰！由于波速在变，为了保证局部能流守恒（Transport 方程），能量传播得慢的地方，场强必须被“挤”得更大。

6.2 WKB 的适用与失效条件

位置：§2.8.1，(2.8.19)、(2.8.20)

书里给出的有效性条件： $$ \frac{1}{k_z^2}\left|\frac{d k_z}{dz}\right| \ll 1 \quad \text{或} \quad \frac{d}{dz}\ln k_z(z) \ll \frac{2\pi}{\lambda_z} $$

人话翻译：

在一个波长 $\lambda_z$ 的距离内，介质折射率的变化必须极小。
当波传播到 $k_z \to 0$ 的地方（即入射角达到临界角发生全反射的 turning point，或 caustic），波长趋于无穷大，上述条件必然破裂，WKB 直接失效（解发散）。
此时需要在 turning point 附近使用 Airy 函数进行渐近匹配（Asymptotic Matching）。

WKB 不是万能近似。在变化平缓区用它累积相位；在拐点处必须换工具（Airy 函数）平滑过渡。

7. 传播矩阵：把场从一个 z 平面搬到另一个 z 平面

7.1 二维状态向量写法

位置：§2.9，(2.9.2) 到 (2.9.5)

书里定义状态向量 $V(z)$（包含场及其导数信息，如 $E$ 和 $H$ 的切向分量）： $$ V= \begin{bmatrix} \phi\ \psi \end{bmatrix} $$ 把原本的二阶方程化为一阶系统： $$ \frac{dV}{dz}=\overline{\overline{H}} \cdot V $$

人话翻译：

计算机解常微分方程时，一阶系统比二阶系统好对付得多。
把电压和电流（或 $E$ 场和 $H$ 场切向分量）捆绑在一起，这样就能通过矩阵乘法，一步步地把整个截面的电磁边界条件沿着 $z$ 轴向前推。

7.2 传播矩阵主公式

位置：§2.9，(2.9.12)、(2.9.13)

系统解可写为传播矩阵（Propagator Matrix 或 Transition Matrix） $\overline{\overline{P}}$： $$ V(z)=\overline{\overline{P}}(z,z’) \cdot V(z’) $$ 对于均匀介质层，$\overline{\overline{P}}(z,z’)=\overline{\overline{a}},e^{i\overline{\overline{K}}(z-z’)}\overline{\overline{a}}^{-1}$。

人话翻译：

传播矩阵 $\overline{\overline{P}}(z,z’)$ 就是一个黑盒：你输入 $z’$ 处的场状态，它直接吐出 $z$ 处的场状态。
对于多层介质，只需要把各层的 $\overline{\overline{P}}$ 矩阵乘起来（$\overline{\overline{P}}_{total} = P_1 P_2 \dots P_N$），就能连接最顶层和最底层的场，而不需要手动解一堆联立方程。

如果只记一句：

“广义反射系数 $\tilde R$”是用标量递推去消元；“传播矩阵 $\overline{\overline{P}}$”是用状态空间去做全局矩阵相乘。两者物理等效。

8. 各向异性分层介质：标量升级成 4×4 状态系统

8.1 各向异性的 4×4 传播矩阵

位置：§2.10，(2.10.10) 及 (2.10.16)

当介质具有各向异性（Anisotropy）时，横向的 $E_x, E_y, H_x, H_y$ 相互耦合，状态向量膨胀为 4 维： $$ V=(E_x, E_y, H_x, H_y)^T $$ 状态方程变为 $\frac{dV}{dz} = \overline{\overline{H}} \cdot V$，此时 $H$ 是一个 $4\times 4$ 矩阵。对应的传播矩阵依然适用：$V(z)=\overline{\overline{P}}(z,z’)\cdot V(z’)$。

人话翻译：

在各向异性介质里，TE 和 TM 极化不再能干干净净地分家。
但核心方法论完全没变：把所有的切向连续场分量打包进一个高维状态向量，求算符的本征值（纵向波数），然后用矩阵指数（矩阵推进）跨越每一层。
所以 2.10 节其实是在说：只要你学会了 2.9 节的 2x2 传播矩阵，把它无脑升级成 4x4，就能算出各向异性多层板的问题了。

我会怎么记这一章

如果你读完第 2 章，只想带走最核心的认知，建议记住这条完整的工作流：

一维化 (降维)：任意三维源辐射通过傅里叶变换 / 柱面展开，拆解为一系列确定横向波数 $k_\rho$ 的标量平面波。
多层递推 (离散传播)：由于界面平行，每个平面波只在其确定的 $k_z$ 下发生一维纵向反射/透射；用广义反射系数 $\tilde R$ 递推或传播矩阵 $\overline{\overline{P}}$ 相乘，把无限次反射压成一个代数式。
谱积分 (回代重构)：把求出的 $k_\rho$ 域的解，套进 Sommerfeld 积分重构出空间场。
渐近求值 (高频近似)：积分算不出解析解时，在复平面上找驻相点（几何射线）和奇点（表面波/侧向波），提取出物理意义最明显的主导贡献。
WKB 修正 (连续不均匀)：如果介质不是阶梯状分层而是平缓连续的，用 WKB 方法追踪相位累积和能流守恒。

所以第 2 章并不是一堆零散的推导，它是一套严密的**“降维分解 -> 逐谱求解 -> 还原拼装 / 近似提取”**的系统工程框架。

9. 如果你要把第二章真的拿去算，应该怎么选工具

上面讲的是“公式分别在说什么”，但真正做研究或写程序时，更常见的问题其实是：

我现在面对的是哪一类问题？该优先拿哪一套公式？

下面给一个实用版决策表。

9.1 先判断你的介质模型属于哪一类

情形 A：明确的多层、每层参数常数

典型场景：空气 / 薄膜 / 基底，多层土壤，多层介质板，PCB 分层结构。

优先工具：

局部 Fresnel 系数 $R_{i,i+1}, T_{i,i+1}$。
广义反射系数递推 $\tilde R$。
传播矩阵 $\overline{\overline P}$。

怎么想：

如果你只关心“从上往下看等效反射是多少”，优先用 广义反射系数递推。
如果你还想同时保留各层内部场、上下行波振幅、边界状态变量，优先用 传播矩阵。

一句话判断：

层是离散的，就先想递推或矩阵，不要一上来就做连续近似。

情形 B：介质沿 $z$ 缓慢变化，没有明显分层界面

典型场景：折射率渐变层，大气 / 电离层剖面，平滑过渡的涂层。

优先工具：

Riccati 方程。
WKB 渐近解。

怎么想：

如果你想直接追踪“反射系数如何随 $z$ 演化”，用 Riccati 方程。
如果你更关心“局部相位怎么积、振幅怎么变、能量怎么沿射线传播”，用 WKB。

一句话判断：

剖面是连续的，就把“每层弹一次”的思维换成“传播中持续生成反射”的思维。

情形 C：存在点源、线源、偶极子，而不是单个入射平面波

典型场景：天线辐射、地表源激发、分层背景中的格林函数。

优先工具：

线源平面波展开。
点源 Sommerfeld 恒等式。
谱域中的广义反射系数。

怎么想：

不要试图直接在空间域里硬算源场与层状介质的耦合。
正确做法几乎总是：先把源分解成谱，再让每个谱分量独立传播，最后重构。

一句话判断：

源问题先做谱分解，层状传播永远在谱域里最自然。

9.2 再判断你要的是“精确表达”还是“主导物理图像”

如果你要可数值实现的精确表达

优先保留：

Sommerfeld 积分原式。
递推得到的 $\tilde R(k_\rho)$。
各层中的传播矩阵或状态向量。

这时你的任务通常是：

对每个谱变量建立纵向波数 $k_z$；
求每个谱分量的反射 / 透射响应；
再做谱积分重构场。

这更像“算法流程”。

如果你要远场主导项、物理解释、近似规律

优先抓：

驻相点。
鞍点路径。
极点与分支点。
WKB 相位积分。

这时你的任务通常是：

找哪类点控制积分主贡献；
判断它对应的是几何反射、表面波、导模还是侧向波；
把复杂积分解释成少数可读的物理机制。

这更像“物理诊断流程”。

9.3 可以把第二章压缩成一个研究生可执行流程

如果把第二章写成一段非常实操的伪流程，大概就是：

先选表示方式：是入射平面波，还是点源 / 线源？
把问题压到谱域：确定横向谱变量 $k_x$ 或 $k_\rho$。
写每个谱分量的一维纵向方程：得到对应的 $k_z$ 与极化形式（TE / TM）。
处理层状传播：离散层用 $\tilde R$ 或 $\overline{\overline P}$，连续剖面用 Riccati 或 WKB。
重构空间场：做 Sommerfeld 积分或其渐近求值。
解释主要物理项：区分直达波、镜面反射、导模、表面波、侧向波。

你会发现，这套流程其实非常稳定：

换源型，改的是第 1 步和第 2 步。
换介质模型，改的是第 4 步。
换观察区域（近场 / 远场），改的是第 5 步的求值方式。

而第 3 步“每个谱分量都对应一个一维纵向传播问题”几乎不变。

9.4 我觉得这一章最值得真正记住的，不超过 4 件事

如果你不想记太多细节，至少把下面 4 句话记牢：

层状介质问题的核心降维，是把三维场拆成横向谱 + 纵向一维传播。
多层反射真正有用的量不是单界面 Fresnel 系数，而是含有全部下层信息的广义反射系数。
源问题的标准做法是先做 Sommerfeld 型谱分解，再让每个谱分量独立传播。
当精确积分难以处理时，复平面上的驻相点、极点、分支点就是主要物理机制的坐标系。

做到这一步，你对第二章的理解就已经不是“背过公式”，而是已经掌握了它的求解框架。

9.5 一句收尾

如果说第 1 章更像是在建立层状介质电磁问题的基本语言，那么第 2 章真正交付的，是一整套可计算、可解释、可推广的方法论：

先分解，再传播，再重构；算不动时，就抓主导模态。

这篇笔记在做什么#

先说结论：第二章到底在干什么#

通用记号#

1. 先把分层介质压成一维问题#

1.1 TE / TM 标量波动方程#

2. 多层介质的核心不是 Fresnel，而是“广义反射系数”#

2.1 三层和多层的递推公式#

书里最值得记住的是多层递推式（以广义反射系数 $\tilde R$ 表示）： $$ \tilde R_{i,i+1}

2.2 多次反射的级数展开#

书里把三层介质的广义反射系数展开成几何光学级数： $$ \tilde R_{12}

2.3 连续极限下的 Riccati 方程#

当层变得无限薄，介质连续变化时，离散递推会变成连续常微分方程： $$ \frac{d}{dz}R(z)

3. 线源和点源都能拆成平面波谱#

3.1 线源的平面波展开#

恒等式： $$ \frac{i}{4}H_0^{(1)}(k_0 \rho)

3.2 点源的 Sommerfeld 恒等式#

三维点源的球面波展开： $$ \frac{e^{ik_0 r}}{r}

4. 有了谱表示，源在层状介质上方就能直接写成“直达项 + 反射项”#

4.1 竖直电偶极子的谱积分骨架#

5. 积分太难时，看驻相点、鞍点和奇点#

5.1 驻相法：主贡献来自相位变化最慢的地方#

5.2 对 Sommerfeld 积分，驻相点选出了“几何射线”#

5.3 积分路径变形与波模态的物理对应#

6. WKB：介质变化够慢时，把每一小段都当成本地均匀介质#

6.1 WKB 主公式与能流守恒#

6.2 WKB 的适用与失效条件#

7. 传播矩阵：把场从一个 z 平面搬到另一个 z 平面#

7.1 二维状态向量写法#

7.2 传播矩阵主公式#

8. 各向异性分层介质：标量升级成 4×4 状态系统#

8.1 各向异性的 4×4 传播矩阵#

我会怎么记这一章#

9. 如果你要把第二章真的拿去算，应该怎么选工具#

9.1 先判断你的介质模型属于哪一类#

情形 A：明确的多层、每层参数常数#

情形 B：介质沿 $z$ 缓慢变化，没有明显分层界面#

情形 C：存在点源、线源、偶极子，而不是单个入射平面波#

9.2 再判断你要的是“精确表达”还是“主导物理图像”#

如果你要可数值实现的精确表达#

如果你要远场主导项、物理解释、近似规律#

9.3 可以把第二章压缩成一个研究生可执行流程#

9.4 我觉得这一章最值得真正记住的，不超过 4 件事#

9.5 一句收尾#

这篇笔记在做什么

先说结论：第二章到底在干什么

通用记号

1. 先把分层介质压成一维问题

1.1 TE / TM 标量波动方程

2. 多层介质的核心不是 Fresnel，而是“广义反射系数”

2.1 三层和多层的递推公式

2.2 多次反射的级数展开

2.3 连续极限下的 Riccati 方程

3. 线源和点源都能拆成平面波谱

3.1 线源的平面波展开

3.2 点源的 Sommerfeld 恒等式

4. 有了谱表示，源在层状介质上方就能直接写成“直达项 + 反射项”

4.1 竖直电偶极子的谱积分骨架

5. 积分太难时，看驻相点、鞍点和奇点

5.1 驻相法：主贡献来自相位变化最慢的地方

5.2 对 Sommerfeld 积分，驻相点选出了“几何射线”

5.3 积分路径变形与波模态的物理对应

6. WKB：介质变化够慢时，把每一小段都当成本地均匀介质

6.1 WKB 主公式与能流守恒

6.2 WKB 的适用与失效条件

7. 传播矩阵：把场从一个 z 平面搬到另一个 z 平面

7.1 二维状态向量写法

7.2 传播矩阵主公式

8. 各向异性分层介质：标量升级成 4×4 状态系统

8.1 各向异性的 4×4 传播矩阵

我会怎么记这一章

9. 如果你要把第二章真的拿去算，应该怎么选工具

9.1 先判断你的介质模型属于哪一类

情形 A：明确的多层、每层参数常数

情形 B：介质沿 $z$ 缓慢变化，没有明显分层界面

情形 C：存在点源、线源、偶极子，而不是单个入射平面波

9.2 再判断你要的是“精确表达”还是“主导物理图像”

如果你要可数值实现的精确表达

如果你要远场主导项、物理解释、近似规律

9.3 可以把第二章压缩成一个研究生可执行流程

9.4 我觉得这一章最值得真正记住的，不超过 4 件事

9.5 一句收尾