0040 - 各向异性分层介质中的波：状态方程、传播矩阵与广义反射矩阵

这篇笔记在做什么

这篇笔记把“各向异性分层介质中的波”整理成一条可以直接复用的推导链：

从三维时谐 Maxwell 方程出发。
利用分层结构在 xy 平面平移不变的性质降维。
消去纵向分量 $E_z,H_z$。
得到只含切向场分量的四维状态方程。
用特征值方法得到传播矩阵。
在界面处建立反射矩阵、透射矩阵。
推广到多层介质的广义反射矩阵递归公式。

这不是概念摘要，而是按“板书推导”的顺序组织，每一步都说明：

为什么这么做。
做完以后得到了什么。
这个结果在后面哪里会继续被使用。

一、问题设定与目标

1. 物理模型

我们考虑沿 $z$ 方向分层、在 $xy$ 平面均匀无限延拓的各向异性介质。
介质参数可以写成

$$ \overline{\boldsymbol{\epsilon}} = \overline{\boldsymbol{\epsilon}}(z), \qquad \overline{\boldsymbol{\mu}} = \overline{\boldsymbol{\mu}}(z) $$

在每一层内部，它们是常数张量；不同层之间可以跳变。

2. 目标

目标不是直接写场解，而是先得到一套统一的状态空间表示：

$$ \frac{d\boldsymbol{V}}{dz} = \overline{\boldsymbol{H}} \boldsymbol{V} $$

其中状态矢量 $\boldsymbol{V}$ 只包含切向场分量。
一旦这个方程得到，后面的传播矩阵、界面反射透射、多层递归都会变成标准线性代数问题。

3. 使用条件

这一节推导默认下面几个条件：

时谐场，时间因子取 $e^{-i\omega t}$。
源自由区域。
介质分层只沿 $z$ 变化。
各层在横向平面满足相位匹配，即横向波矢 $\boldsymbol{k}_s$ 在各层相同。

这些条件的作用分别是：

时谐假设把时间导数变成代数因子 $-i\omega$。
源自由假设让 Maxwell 方程不带源项。
分层结构保证可以做横向-纵向分解。
横向波矢守恒保证可以把偏微分方程降成常系数常微分方程。

二、起点：时谐 Maxwell 方程

在 $e^{-i\omega t}$ 约定下，时域导数满足

$$ \frac{\partial}{\partial t} \to -i\omega $$

于是源自由 Maxwell 方程写成

$$ \nabla \times \boldsymbol{E} = i\omega \overline{\boldsymbol{\mu}} \cdot \boldsymbol{H} \tag{2.10.1} $$$$ \nabla \times \boldsymbol{H} = -i\omega \overline{\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \boldsymbol{E} \tag{2.10.2} $$

这里最重要的观察不是方程本身，而是：

虽然 Maxwell 方程是三维矢量方程，但几何结构只在一个方向上非均匀，所以真正的未知只需要沿 $z$ 推进。

这就是后面要做“横纵分解”的根本动机。

三、横向-纵向分解

1. 梯度算子分解

定义横向梯度

$$ \nabla_s = \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} $$

于是总梯度可以写成

$$ \nabla = \nabla_s + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} $$

2. 场分量分解

把电磁场写成切向分量和法向分量：

$$ \boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_s + \hat{z}E_z, \qquad \boldsymbol{H} = \boldsymbol{H}_s + \hat{z}H_z $$

其中 $\boldsymbol{E}_s,\boldsymbol{H}_s$ 是二维横向矢量。

3. 本构张量分块

由于介质是一般各向异性张量，所以需要把 $\overline{\boldsymbol{\mu}}$ 和 $\overline{\boldsymbol{\epsilon}}$ 做块分解：

$$ \overline{\boldsymbol{\mu}} = \begin{bmatrix} \overline{\boldsymbol{\mu}}_s & \overline{\boldsymbol{\mu}}_{sz} \\ \overline{\boldsymbol{\mu}}_{zs} & \mu_{zz} \end{bmatrix}, \qquad \overline{\boldsymbol{\epsilon}} = \begin{bmatrix} \overline{\boldsymbol{\epsilon}}_s & \overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{sz} \\ \overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{zs} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} $$

这里：

$\overline{\boldsymbol{\mu}}_s,\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_s$ 是 2×2 横向块。
$\overline{\boldsymbol{\mu}}_{sz},\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{sz}$ 是 2×1 耦合块。
$\overline{\boldsymbol{\mu}}_{zs},\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{zs}$ 是 1×2 耦合块。
$\mu_{zz},\epsilon_{zz}$ 是纵向标量块。

这一步的意义是：

先把三维张量按“横向/纵向”重排，后面才能系统消掉 $E_z,H_z$。

四、旋度展开：把 Maxwell 方程拆成“横向微分方程 + 纵向代数方程”

1. 电场旋度的展开

从

$$ \nabla \times \boldsymbol{E} = (\nabla_s + \hat{z}\partial_z)\times(\boldsymbol{E}_s+\hat{z}E_z) $$

逐项展开可得

$$ \nabla \times \boldsymbol{E} = \nabla_s\times\boldsymbol{E}_s - \hat{z}\times\nabla_s E_z + \hat{z}\times\frac{\partial \boldsymbol{E}_s}{\partial z} $$

其中：

$\nabla_s\times\boldsymbol{E}_s$ 是纵向分量。
其余两项是横向分量。

2. 按横向/纵向分量配平

再把右边的本构关系按块展开，就得到两类方程：

电场方程的横向部分：

$$ \hat{z} \times \frac{\partial \boldsymbol{E}_s}{\partial z} - \hat{z}\times\nabla_s E_z = i\omega(\overline{\boldsymbol{\mu}}_s\cdot\boldsymbol{H}_s + \overline{\boldsymbol{\mu}}_{sz}H_z) \tag{2.10.4a} $$

电场方程的纵向部分：

$$ \hat{z}\cdot(\nabla_s\times\boldsymbol{E}_s) = i\omega(\overline{\boldsymbol{\mu}}_{zs}\cdot\boldsymbol{H}_s + \mu_{zz}H_z) \tag{2.10.4b} $$

同理，从磁场方程得到：

$$ \hat{z} \times \frac{\partial \boldsymbol{H}_s}{\partial z} - \hat{z}\times\nabla_s H_z = -i\omega(\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_s\cdot\boldsymbol{E}_s + \overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{sz}E_z) \tag{2.10.5a} $$$$ \hat{z}\cdot(\nabla_s\times\boldsymbol{H}_s) = -i\omega(\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{zs}\cdot\boldsymbol{E}_s + \epsilon_{zz}E_z) \tag{2.10.5b} $$

3. 这一步到底得到了什么

现在我们有四个方程：

两个横向分量方程 (2.10.4a), (2.10.5a)，里面含有 $z$ 导数；
两个纵向分量方程 (2.10.4b), (2.10.5b)，它们本质上是代数约束。

因此这一步的意义是：

把原来的三维 Maxwell 方程拆成了“真正负责传播的方程”和“负责消元的约束方程”。

五、消去纵向分量 $E_z,H_z$

这一节的目标非常明确：

我们最终要得到一个只含切向场分量的闭合系统，所以必须把 $E_z,H_z$ 用 $\boldsymbol{E}_s,\boldsymbol{H}_s$ 表示出来。

1. 由磁场纵向方程解出 $E_z$

从 (2.10.5b) 出发：

$$ \hat{z}\cdot(\nabla_s\times\boldsymbol{H}_s) = -i\omega(\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{zs}\cdot\boldsymbol{E}_s + \epsilon_{zz}E_z) $$

解得

$$ E_z = -\frac{\kappa_{zz}}{i\omega}\hat{z}\cdot(\nabla_s\times\boldsymbol{H}_s) - \kappa_{zz}\,\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_{zs}\cdot\boldsymbol{E}_s \tag{2.10.6a} $$

其中

$$ \kappa_{zz} = \epsilon_{zz}^{-1} $$

2. 由电场纵向方程解出 $H_z$

从 (2.10.4b) 出发：

$$ \hat{z}\cdot(\nabla_s\times\boldsymbol{E}_s) = i\omega(\overline{\boldsymbol{\mu}}_{zs}\cdot\boldsymbol{H}_s + \mu_{zz}H_z) $$

解得

$$ H_z = \frac{\nu_{zz}}{i\omega}\hat{z}\cdot(\nabla_s\times\boldsymbol{E}_s) - \nu_{zz}\,\overline{\boldsymbol{\mu}}_{zs}\cdot\boldsymbol{H}_s \tag{2.10.6b} $$

其中

$$ \nu_{zz} = \mu_{zz}^{-1} $$

3. 这一步的结果

到这里为止，$E_z,H_z$ 已经完全由横向切向分量表示。

因此从结构上说：

原来的六个场分量，已经压缩成四个独立自由度。

这正是状态空间维数等于 4 的来源。

六、利用平面波假设，把横向微分算子代数化

1. 为什么可以做平面波假设

因为介质在 xy 平面平移不变，所以每层中的横向依赖都可以写成相同的相位因子：

$$ \boldsymbol{E}_s(\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{E}_s(z)e^{i\boldsymbol{k}_s\cdot\boldsymbol{r}_s}, \qquad \boldsymbol{H}_s(\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{H}_s(z)e^{i\boldsymbol{k}_s\cdot\boldsymbol{r}_s} $$

其中

$$ \boldsymbol{r}_s = \hat{x}x + \hat{y}y, \qquad \boldsymbol{k}_s = \hat{x}k_x + \hat{y}k_y $$

2. 这会带来什么简化

横向梯度直接代数化为

$$ \nabla_s \to i\boldsymbol{k}_s $$

于是

$$ \hat{z}\cdot(\nabla_s\times\boldsymbol{A}_s) = i(\hat{z}\times\boldsymbol{k}_s)\cdot\boldsymbol{A}_s $$

这里用到的只是混合积轮换性：

$$ \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} $$

3. 后面反复使用的恒等式

对于任意横向矢量 $\boldsymbol{A}_s$，

$$ -\hat{z}\times(\hat{z}\times\boldsymbol{A}_s)=\boldsymbol{A}_s $$

这个恒等式的作用是：

允许我们把 $\hat z\times \frac{d\boldsymbol{E}_s}{dz}$ 转成 $\frac{d\boldsymbol{E}_s}{dz}$；
同样地把 $\hat z\times \frac{d\boldsymbol{H}_s}{dz}$ 转成 $\frac{d\boldsymbol{H}_s}{dz}$。

它是从“旋度形式”转成“标准状态方程”的关键一步。

七、状态方程的得到

1. 基本思路

做法很机械，但结构很清楚：

把 (2.10.6a), (2.10.6b) 代入横向方程 (2.10.4a), (2.10.5a)。
用 $\nabla_s \to i\boldsymbol{k}_s$ 把横向导数代数化。
左乘 $-\hat z \times$，把 $\frac{d\boldsymbol{E}_s}{dz}$、$\frac{d\boldsymbol{H}_s}{dz}$ 单独解出来。
按“乘在 $\boldsymbol{E}_s$ 前的项”和“乘在 $\boldsymbol{H}_s$ 前的项”分组。

最后得到

$$ \frac{d\boldsymbol{E}_s}{dz} = \overline{\boldsymbol{H}}_{11}\cdot\boldsymbol{E}_s + \overline{\boldsymbol{H}}_{12}\cdot\boldsymbol{H}_s $$$$ \frac{d\boldsymbol{H}_s}{dz} = \overline{\boldsymbol{H}}_{21}\cdot\boldsymbol{E}_s + \overline{\boldsymbol{H}}_{22}\cdot\boldsymbol{H}_s $$

于是写成块矩阵形式就是

$$ \frac{d}{dz}\begin{bmatrix} \boldsymbol{E}_s \\ \boldsymbol{H}_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline{\boldsymbol{H}}_{11} & \overline{\boldsymbol{H}}_{12} \\ \overline{\boldsymbol{H}}_{21} & \overline{\boldsymbol{H}}_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \boldsymbol{E}_s \\ \boldsymbol{H}_s \end{bmatrix} \tag{2.10.10} $$

2. 状态矢量与状态矩阵

定义

$$ \boldsymbol{V} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E}_s \\ \boldsymbol{H}_s \end{bmatrix}, \qquad \overline{\boldsymbol{H}} = \begin{bmatrix} \overline{\boldsymbol{H}}_{11} & \overline{\boldsymbol{H}}_{12} \\ \overline{\boldsymbol{H}}_{21} & \overline{\boldsymbol{H}}_{22} \end{bmatrix} $$

于是标准状态方程就是

$$ \frac{d\boldsymbol{V}}{dz} = \overline{\boldsymbol{H}}\boldsymbol{V} $$

3. 这一步的意义

这一步是整节最关键的结果：

从三维 Maxwell 方程出发，最后把问题改写成沿 $z$ 推进的四维一阶线性系统。

后面的所有内容，包括：

特征值法
传播矩阵
界面反射透射
多层递归

都以这个状态方程为起点。

4. 状态矩阵子块的结构

状态矩阵的四个 2×2 子块，分别表示：

$\overline{\boldsymbol{H}}_{11}$：切向电场对自身的耦合。
$\overline{\boldsymbol{H}}_{12}$：切向磁场驱动切向电场的耦合。
$\overline{\boldsymbol{H}}_{21}$：切向电场驱动切向磁场的耦合。
$\overline{\boldsymbol{H}}_{22}$：切向磁场对自身的耦合。

它们的显式形式较长，但结构上都来自三类项：

横向本构张量块 $\overline{\boldsymbol{\mu}}_s,\overline{\boldsymbol{\epsilon}}_s$。
纵向消元引入的修正项 $\kappa_{zz},\nu_{zz}$。
横向波矢 $\boldsymbol{k}_s$ 与 $\hat z$ 的叉积结构。

也就是说：

状态矩阵不是凭空定义出来的，它正是“材料张量 + 横向波矢 + 纵向消元”三者共同作用的结果。

八、状态方程的解：特征值、特征向量与传播矩阵

1. 指数解假设

因为在单层均匀介质内部 $\overline{\boldsymbol{H}}$ 是常数矩阵，所以自然设

$$ \boldsymbol{V}(z) = \boldsymbol{V}_0 e^{\lambda z} $$

代入状态方程得到标准特征值问题

$$ (\overline{\boldsymbol{H}}-\lambda \overline{\boldsymbol{I}})\boldsymbol{V}_0 = 0 $$

非零解存在的条件是

$$ \det(\overline{\boldsymbol{H}}-\lambda \overline{\boldsymbol{I}})=0 $$

这给出四个特征值和对应的四个线性无关特征向量。

2. 物理解释

这四个本征模对应四种独立传播方式。在无耗介质里通常可以按传播方向分成：

两个上行波模
两个下行波模

也就是说：

各向异性层内一般不是单一 TE/TM 两模，而是四个切向场本征模。

3. 通解的矩阵形式

把四个本征模叠加，通解可写成

$$ \boldsymbol{V}(z) = \overline{\boldsymbol{a}}\, e^{i\overline{\boldsymbol{\beta}} z}\,\boldsymbol{A} \tag{2.10.14} $$

其中：

$\overline{\boldsymbol{a}}$ 是特征向量矩阵；
$e^{i\overline{\boldsymbol{\beta}}z}$ 是由四个本征传播因子构成的对角矩阵；
$\boldsymbol{A}$ 是模态振幅向量。

4. 传播矩阵

若已知 $z'$ 处状态矢量 $\boldsymbol{V}(z')$，则 $z$ 处状态矢量可以写成

$$ \boldsymbol{V}(z) = \overline{\boldsymbol{P}}(z,z')\boldsymbol{V}(z') $$

其中传播矩阵为

$$ \overline{\boldsymbol{P}}(z,z') = \overline{\boldsymbol{a}}\, e^{i\overline{\boldsymbol{\beta}}(z-z')}\,\overline{\boldsymbol{a}}^{-1} \tag{2.10.16a} $$

传播矩阵有三个重要性质：

$\overline{\boldsymbol{P}}(z,z)=\overline{\boldsymbol{I}}$
$\overline{\boldsymbol{P}}(z,z'')=\overline{\boldsymbol{P}}(z,z')\overline{\boldsymbol{P}}(z',z'')$
$\overline{\boldsymbol{P}}(z',z)=\overline{\boldsymbol{P}}(z,z')^{-1}$

这第三个性质说明它是可逆传播；第二个性质说明多层介质中的总传播矩阵就是逐层传播矩阵相乘。

九、各向异性半空间界面的反射与透射

1. 为什么切向场状态矢量正好适合界面问题

电磁边界条件要求：

切向电场连续；
切向磁场连续。

而状态矢量 $\boldsymbol{V}=[\boldsymbol{E}_s,\boldsymbol{H}_s]^T$ 恰好把这四个切向分量全部收进去。

因此：

一旦状态矢量建立起来，界面条件就不再需要额外改写，直接做矩阵拼接即可。

2. 半空间界面上的场表示

在上半空间区域 1，场由

向下传播的入射模
向上传播的反射模

组成。

在下半空间区域 2，由辐射条件只保留向下传播的透射模。

于是定义：

反射矩阵 $\overline{\boldsymbol{R}}_{12}$：把区域 1 的下行模振幅映射为上行模振幅。
透射矩阵 $\overline{\boldsymbol{T}}_{12}$：把区域 1 的下行模振幅映射为区域 2 的下行模振幅。

3. 边界条件写成矩阵方程

在 $z=0$ 处连续性条件为

$$ \boldsymbol{V}_1(0)=\boldsymbol{V}_2(0) $$

代入两侧模态展开后，可以写成标准块矩阵方程：

$$ \overline{\boldsymbol{a}}_1 \begin{bmatrix} \overline{\boldsymbol{R}}_{12}\\ \overline{\boldsymbol{I}} \end{bmatrix} = \overline{\boldsymbol{a}}_2 \begin{bmatrix} \overline{\boldsymbol{0}}\\ \overline{\boldsymbol{T}}_{12} \end{bmatrix} \tag{2.10.21} $$

接下来只需把特征向量矩阵分块，就能解出 $\overline{\boldsymbol{R}}_{12}$ 和 $\overline{\boldsymbol{T}}_{12}$。

4. 这一步的物理意义

对于各向异性界面来说，反射与透射不再只是标量 Fresnel 系数，而是矩阵。原因是：

一个入射本征模可能耦合到多个反射本征模；
同样也可能耦合到多个透射本征模。

所以：

各向异性界面上的 Fresnel 问题，本质上升级成了模态耦合矩阵问题。

十、多层介质：广义反射矩阵

1. 为什么要定义广义反射矩阵

对于多层介质，某一层界面处看到的“反射”已经不只是本界面的直接反射，而是：

先透射到下层；
在更深层反射；
再回到当前界面；
还可能多次往返。

因此需要引入广义反射矩阵

$$ \tilde{\overline{\boldsymbol{R}}}_{i,i+1} $$

它表示：从第 $i$ 层看向下方全部结构时看到的总反射。

最底层初始化条件是

$$ \tilde{\overline{\boldsymbol{R}}}_{N,N+1} = \overline{\boldsymbol{0}} $$

2. 三层介质中的结构

对于三层结构，$\tilde{\overline{\boldsymbol{R}}}_{12}$ 由两部分组成：

界面 $1\text{-}2$ 的直接反射 $\overline{\boldsymbol{R}}_{12}$；
透入第 2 层后，经界面 $2\text{-}3$ 反射、在第 2 层内往返多次、再透回第 1 层的所有贡献。

这些往返贡献构成矩阵几何级数。

3. N 层结构的递归公式

递归公式写成

$$ \tilde{\overline{\boldsymbol{R}}}_{i,i+1} = \overline{\boldsymbol{R}}_{i,i+1} + \overline{\boldsymbol{T}}_{i+1,i}\, e^{i\overline{\boldsymbol{\beta}}_{i+1,+}t_{i+1}} \tilde{\overline{\boldsymbol{R}}}_{i+1,i+2} \left( \overline{\boldsymbol{I}} - e^{i\overline{\boldsymbol{\beta}}_{i+1,-}t_{i+1}} \overline{\boldsymbol{R}}_{i+1,i} e^{i\overline{\boldsymbol{\beta}}_{i+1,+}t_{i+1}} \tilde{\overline{\boldsymbol{R}}}_{i+1,i+2} \right)^{-1} e^{i\overline{\boldsymbol{\beta}}_{i+1,-}t_{i+1}} \overline{\boldsymbol{T}}_{i,i+1} \tag{2.10.31} $$

这里最重要的不是公式长，而是它的计算逻辑非常清楚：

从最底层开始初始化。
一层一层向上递推。
最终得到最上层看到的总反射。

这就是多层各向异性结构计算的核心算法。

十一、几何光学级数与数值稳定性

1. 结构含义

矩阵逆

$$ (\overline{\boldsymbol{I}}-\overline{\boldsymbol{M}})^{-1} $$

可以展开成

$$ \overline{\boldsymbol{I}} + \overline{\boldsymbol{M}} + \overline{\boldsymbol{M}}^2 + \cdots $$

于是广义反射矩阵可以解释为：

第 0 项：直接反射；
第 1 项：在中间层往返 1 次后的返回；
第 2 项：往返 2 次后的返回；
以此类推。

所以它不是纯代数技巧，而是每一项都对应一条清晰的几何光学路径。

2. 数值意义

在厚层、强衰减或倏逝波问题中，直接使用传统传播矩阵容易出现：

指数增长项
指数衰减项
两者相乘导致数值病态

而几何级数展开或广义反射递归通常更稳定，因为每一步都更接近“衰减射线叠加”的结构。

因此：

从数值实现角度，广义反射矩阵递归往往比直接整层传播矩阵连乘更稳。

十二、整条推导链的逻辑回看

把这一节压成一条线，逻辑其实非常统一：

三维 Maxwell 方程
→ 横向/纵向分解
→ 得到横向微分方程 + 纵向代数方程
→ 消去 Ez, Hz
→ 平面波假设使横向算子代数化
→ 得到 4 维一阶状态方程
→ 常系数层内用特征值法求解
→ 构造传播矩阵
→ 界面处由切向场连续求反射/透射矩阵
→ 多层结构引入广义反射矩阵
→ 从下往上递归求总反射

如果把它理解成“板书式主线”，每一步都只服务于下一步：

分解是为了消元；
消元是为了得到状态方程；
状态方程是为了做特征值分解；
特征值分解是为了得到传播矩阵；
传播矩阵是为了连接各层；
连接各层的最终目的，是高效稳定地计算反射与透射。

十三、哪些地方最值得在纸上亲手推一遍

如果你是第一次读这一节，我建议至少亲手推下面四个地方。

1. 从 Maxwell 方程到 `(2.10.4a)(2.10.4b)(2.10.5a)(2.10.5b)`

这是最基本的横纵分量拆分。

2. 从 `(2.10.4b)(2.10.5b)` 解出 $E_z,H_z$

这是从 6 个分量压缩到 4 个分量的关键。

3. 左乘 $-\hat z\times$ 的那一步

这是把旋度形式真正变成标准状态方程的关键。

4. 广义反射矩阵的三层几何级数推导

这一步会让你真正理解递归公式不是“记忆对象”，而是“多次往返反射的打包写法”。

十四、最后的结论

这一节最核心的收获不是某一个公式，而是一个统一方法：

对各向异性分层介质，先把 Maxwell 方程压成切向场状态方程，再把每层传播和每个界面散射写成矩阵对象，最后用矩阵递归处理整个多层结构。

这套方法的价值在于：

对均匀各向异性层成立；
对多层结构成立；
对反射、透射、导模、倏逝波都适用；
对数值实现非常友好。

如果后面还要继续往下推，最自然的下一步就是：

把状态矩阵 $\overline{\boldsymbol{H}}_{11},\overline{\boldsymbol{H}}_{12},\overline{\boldsymbol{H}}_{21},\overline{\boldsymbol{H}}_{22}$ 逐项展开。
在各向同性极限下验证它退化为 TE/TM 分离形式。
用这套框架写一个多层各向异性结构反射率的数值程序。

这篇笔记在做什么#

一、问题设定与目标#

1. 物理模型#

2. 目标#

3. 使用条件#

二、起点：时谐 Maxwell 方程#

三、横向-纵向分解#

1. 梯度算子分解#

2. 场分量分解#

3. 本构张量分块#

四、旋度展开：把 Maxwell 方程拆成“横向微分方程 + 纵向代数方程”#

1. 电场旋度的展开#

2. 按横向/纵向分量配平#

3. 这一步到底得到了什么#

五、消去纵向分量 $E_z,H_z$#

1. 由磁场纵向方程解出 $E_z$#

2. 由电场纵向方程解出 $H_z$#

3. 这一步的结果#

六、利用平面波假设，把横向微分算子代数化#

1. 为什么可以做平面波假设#

2. 这会带来什么简化#

3. 后面反复使用的恒等式#

七、状态方程的得到#

1. 基本思路#

2. 状态矢量与状态矩阵#

3. 这一步的意义#

4. 状态矩阵子块的结构#

八、状态方程的解：特征值、特征向量与传播矩阵#

1. 指数解假设#

2. 物理解释#

3. 通解的矩阵形式#

4. 传播矩阵#

九、各向异性半空间界面的反射与透射#

1. 为什么切向场状态矢量正好适合界面问题#

2. 半空间界面上的场表示#

3. 边界条件写成矩阵方程#

4. 这一步的物理意义#

十、多层介质：广义反射矩阵#

1. 为什么要定义广义反射矩阵#

2. 三层介质中的结构#

3. N 层结构的递归公式#

十一、几何光学级数与数值稳定性#

1. 结构含义#

2. 数值意义#

十二、整条推导链的逻辑回看#

十三、哪些地方最值得在纸上亲手推一遍#

1. 从 Maxwell 方程到 (2.10.4a)(2.10.4b)(2.10.5a)(2.10.5b)#

2. 从 (2.10.4b)(2.10.5b) 解出 $E_z,H_z$#

3. 左乘 $-\hat z\times$ 的那一步#

4. 广义反射矩阵的三层几何级数推导#

十四、最后的结论#