http://wuqq547.top/tags/%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%95%B4%E7%90%86/Recent content in 定理整理 on wuqq 的 Bloghttp://wuqq547.top/cover.pnghttp://wuqq547.top/cover.pngHugo -- 0.147.4zh-cnMon, 13 Apr 2026 21:40:00 +0800http://wuqq547.top/posts/0036-inverse-scattering-theory-theorem-index/Mon, 13 Apr 2026 21:40:00 +0800http://wuqq547.top/posts/0036-inverse-scattering-theory-theorem-index/<h2 id="一这篇笔记的用途">一、这篇笔记的用途</h2> <p>前两篇我分别整理了这本书的知识架构和可转化为工作知识的结论，但你这次要的是另一种东西：</p> <blockquote> <p><strong>按章节整理本书里真正重要的定理，先用人话说清楚，再给出准确数学形式、定理号和记号解释。</strong></p></blockquote> <p>所以这篇笔记的定位不是“读书感想”，而是一本<strong>定理索引手册</strong>。</p> <p>需要说明一点：当前 PDF 文件名里带有 <code>2013</code>，但书内版权页显示正文对应的是 <strong>Second Edition, 1998</strong>。下面的整理以书内正文编号为准。</p> <p>另外，不同 PDF 版本的页码可能漂移，所以“书上哪里”统一写成 <strong>Chapter + Section + Theorem/Lemma 编号</strong>，这样最稳。</p> <hr> <h2 id="二通用记号">二、通用记号</h2> <p>为了避免每条定理都重复解释，这里先统一记号。</p> <ul> <li>$D$：散射体区域，或介质异常的支撑区域。</li> <li>$\partial D$：边界。</li> <li>$\nu$：边界外法向。</li> <li>$k&gt;0$：波数。</li> <li>$\Omega=S^2$：三维单位球面。</li> <li>声学入射场、散射场、总场分别记为 $u^i,u^s,u$，且 $u=u^i+u^s$。</li> <li>电磁场记为 $E,H$；远场模式记为 $u_\infty,E_\infty,H_\infty$。</li> <li>折射率记为 $n(x)$，常记 $m:=1-n$。</li> <li>三维 Helmholtz 基本解： $$ \Phi(x,y)=\frac{e^{ik|x-y|}}{4\pi |x-y|}. $$</li> <li>二维基本解： $$ \Phi(x,y)=\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k|x-y|). $$</li> <li>单层、双层及法向导数算子通常记作 $S,K,K&rsquo;,T$。</li> <li>Herglotz 波函数是由球面上的平面波叠加得到的 entire solution。</li> </ul> <hr> <h2 id="三chapter-1导言">三、Chapter 1：导言</h2> <p>第 1 章没有正式编号的定理，但它给出全书最重要的分类：</p> <ul> <li><strong>正问题</strong>：已知散射体或介质，求散射场。</li> <li><strong>逆问题</strong>：已知远场模式，反推边界或介质参数。</li> <li><strong>两大对象</strong>：obstacle problem 与 medium problem。</li> <li><strong>两大困难</strong>：nonlinearity 与 ill-posedness。</li> </ul> <p>后面几乎所有定理都在为这四句话服务。</p>