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0045 - 棱边元有限元里的全局编号与局部编号：从弱形式离散到稀疏矩阵组装

Wed, 15 Apr 2026 12:18:00 +0800

这篇笔记在做什么

这篇笔记专门抽出原始会话里最难也最容易混乱的部分：全局基函数如何代入连续弱形式，为什么绝大多数单元积分自动为零，局部基函数怎样带着方向符号回到全局矩阵。

我保留了推导里的每一步筛选与变换，让“全局到局部、局部回到全局”不再只是口号，而是一条完整可验证的计算链。

从全局到局部，再从局部到全局

——弱形式离散化的完整推导

一、出发点：连续弱形式

求 $\mathbf{E}^{sca} \in H(\text{curl};\Omega)$，使得对所有 $\mathbf{T} \in H(\text{curl};\Omega)$：

$$ \begin{aligned} &\underbrace{\int_\Omega (\nabla\times\mathbf{T})\cdot(\nabla\times\mathbf{E}^{sca})\,dV}_{a_1(\mathbf{T},\mathbf{E}^{sca})} \\ &\quad - k_0^2 \underbrace{\int_\Omega \mathbf{T}\cdot\bar{\bar{\varepsilon}}_r\mathbf{E}^{sca}\,dV}_{a_2(\mathbf{T},\mathbf{E}^{sca})} \\ &\quad - jk_0 \underbrace{\oint_{S_{ABC}}(\hat{n}\times\mathbf{T})\cdot(\hat{n}\times\mathbf{E}^{sca})\,dS}_{a_3(\mathbf{T},\mathbf{E}^{sca})} \\ &= \underbrace{k_0^2\int_{\Omega_d}\mathbf{T}\cdot(\bar{\bar{\varepsilon}}_r-\bar{\bar{I}})\mathbf{E}^{inc}\,dV}_{F(\mathbf{T})} \end{aligned} $$

简记为：

$$ \boxed{a(\mathbf{T}, \mathbf{E}^{sca}) = F(\mathbf{T}), \quad \forall\,\mathbf{T} \in H(\text{curl};\Omega)} $$

其中：

$$ a(\mathbf{T}, \mathbf{E}) = a_1(\mathbf{T},\mathbf{E}) - k_0^2 a_2(\mathbf{T},\mathbf{E}) + a_3(\mathbf{T},\mathbf{E}) $$

注意 $a_3$ 已经包含了 ABC 边界条件（自然边界条件），它来自弱形式推导中的面积分项。

二、全局编号下的场逼近

2.1 全局棱边编号与全局基函数

设网格共有 $N_E$ 条全局棱边，编号为 $I = 1, 2, \ldots, N_E$。

0044 - 三维各向异性介质散射有限元完整推导：四面体棱边元、ABC 边界与矩阵组装

Wed, 15 Apr 2026 12:14:00 +0800

这篇笔记在做什么

这一篇对应原始会话里最完整的一条三维电磁有限元推导链。我保留了四面体一阶 Nedelec 棱边元、$e^{-j\omega t}$ 约定、ABC 面矩阵、全局与局部映射、质量矩阵和代码框架的细致展开。

如果你关心的是“从 Maxwell 方程一路走到可实现的单元矩阵和组装算法”，这一篇就是主干正文。

三维各向异性介质散射问题有限元方法

——四面体棱边元 · ABC边界 · $e^{-j\omega t}$约定 · 完整推导

一、物理问题与几何设置

各向异性无磁电介质立方体，被平面波照射：

 E^inc (平面波)
↓ ↓ ↓
╔══════════════════════════╗
║ Ω₀ (自由空间, ε_r=I) ║ ← S_ABC (外边界, 球/长方体)
║ ║
║ ┌──────────┐ ║
║ │ Ω_d │ ║
║ │ 各向异性 │ ║
║ │ 介质体 │ ║
║ │ ε̄̄_r(张量)│ ║
║ └──────────┘ ║
║ S_d (介质面) ║
║ ║
╚══════════════════════════╝
μ_r = 1 (全空间无磁)

材料参数——各向异性介电张量：

0043 - 三维电磁散射有限元入门：从 PEC 立方体到弱形式、棱边元与全局编号

Wed, 15 Apr 2026 12:10:00 +0800

这篇笔记在做什么

这篇笔记从一份 Playground 导出会话整理而来。我保留了原始推导里的细节，重点把最简单的三维 PEC 立方体散射问题整理成一个可连续阅读的入门版本。

文章会按下面这条线展开：Maxwell 方程、散射场分解、ABC 截断、弱形式、棱边元、六面体单元、局部到全局编号、矩阵组装。

三维电磁场散射问题的有限元方法——以立方体为例

一、物理问题描述

考虑一个边长为 $a$ 的理想导体(PEC)立方体，置于自由空间中，被一个平面波照射。我们要求解散射场。

 入射平面波 E^inc
↓ ↓ ↓
___________
/ /|
/ / |
/___________/ | PEC 立方体
| | |
| | /
| | /
|___________|/
求：散射场 E^sca

二、理论推导

2.1 从 Maxwell 方程出发

时谐场（$e^{j\omega t}$ 约定）下的 Maxwell 方程：

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -j\omega\mu\mathbf{H} $$$$ \nabla \times \mathbf{H} = j\omega\varepsilon\mathbf{E} + \mathbf{J} $$

消去 $\mathbf{H}$，得到矢量波动方程：

$$ \nabla \times \left(\frac{1}{\mu_r} \nabla \times \mathbf{E}\right) - k_0^2 \varepsilon_r \mathbf{E} = -jk_0 Z_0 \mathbf{J} $$

其中：