0046 - 二维 Helmholtz 方程有限元完整推导：三角形单元、Robin 边界与正方形算例

Wed, 15 Apr 2026 12:22:00 +0800

这篇笔记在做什么

这一篇把原始对话里关于二维标量有限元的内容整理成一条完整链：控制方程、弱形式、全局编号、局部基函数、三角形单元矩阵、边界线段矩阵、正方形网格算例，以及和三维电磁棱边元的对应关系。

如果你想先在二维问题上把有限元的骨架走通，再回到三维电磁问题，这篇最适合当中间桥梁。

二维 Helmholtz 方程有限元方法

三角形单元 · 线性基函数 · Robin 边界条件 · 完整推导

一、问题陈述

1.1 控制方程

求 $\phi(x,y)$，满足：

$$ -\frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha_x \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\alpha_y \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)+\beta\phi=f, \quad (x,y)\in\Omega \tag{1} $$

1.2 Robin 边界条件

$$ \left(\alpha_x \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{x}+\alpha_y \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{y}\right)\cdot\hat{n}+\gamma \phi=q, \quad (x,y)\in\Gamma_2=\partial\Omega \tag{2} $$

1.3 记号简化

定义各向异性梯度算子：

$$ \bar{\bar{\alpha}}\nabla\phi \equiv \alpha_x \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{x}+\alpha_y \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{y} $$

其中 $\bar{\bar{\alpha}} = \text{diag}(\alpha_x, \alpha_y)$。

则方程和边界条件简写为：

$$ -\nabla\cdot(\bar{\bar{\alpha}}\nabla\phi)+\beta\phi = f \quad \text{in } \Omega \tag{1'} $$$$ (\bar{\bar{\alpha}}\nabla\phi)\cdot\hat{n}+\gamma\phi = q \quad \text{on } \Gamma_2 \tag{2'} $$

二、弱形式（变分形式）的推导

2.1 加权残量

用测试函数 $w(x,y)$ 乘以方程 (1)，在 $\Omega$ 上积分：

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