WKB on wuqq 的 Blog

0037 - 《Waves and Fields in Inhomogeneous Media》第二章核心公式的人话翻译

Mon, 13 Apr 2026 23:25:00 +0800

这篇笔记在做什么

这不是第 2 章的逐页摘抄，而是把这一章最核心的公式翻成“人话”：

这条公式在算什么。
它为什么重要。
它在整章里的位置是什么。
真正写代码或做分析时，应该怎么理解它。

括号里的编号都是书中的公式编号或节号。

先说结论：第二章到底在干什么

如果只用一句话概括，第 2 章做的是：

把“层状介质中的波”改写成可以递推、可以积分、可以渐近、可以矩阵推进的问题。

它有五条主线：

把 TE/TM 波压成一维标量方程。
把线源和点源拆成平面波谱。
把多层反射写成递推关系。
当积分太难时，用渐近法和 WKB 抓主导项。
最后把这一切统一成传播矩阵。

通用记号

$z$：分层方向。
$x,y$：横向坐标。
$\rho$ 或 $p$：横向径向距离，通常 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$。
$k_x, k_\rho$ (或 $k_p$)：横向波数。
$k_z$：纵向波数，满足色散关系 $k_z = \sqrt{k^2 - k_\rho^2}$。
$R_{i,i+1}$：第 $i$ 层和第 $i+1$ 层局部界面的 Fresnel 反射系数。
$\tilde R_{i,i+1}$：把下方所有层都算进去后的“广义反射系数”。
TE/TM 中，对于连续非均匀剖面通常定义局部参量： $$ p(z)= \begin{cases} \mu(z), & \text{TE},\ \epsilon(z), & \text{TM}. \end{cases} $$

1. 先把分层介质压成一维问题

1.1 TE / TM 标量波动方程

位置：§2.1，(2.1.3)、(2.1.5)、(2.1.6)、(2.1.7)